En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:
Quienes me entreguéis el examen el lunes (que se note que está trabajado), tendréis medio punto extra en el examen de recuperación/mejora.
El lunes veremos cómo os ha salido y os daré las notas de la evaluación. Enhorabuena a los que os haya ido bien, y mucho ánimo a los que tenéis que seguir esforzándoos.
jueves, 30 de noviembre de 2017
miércoles, 29 de noviembre de 2017
2º de ESO: introducción al Álgebra
Os cuelgo las diapositivas que vamos a utilizar en clase para dar comienzo a la 2ª evaluación.
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| Leire, son inmortales: han resucitado los muy... |
martes, 28 de noviembre de 2017
1º de ESO: examen global de la 1ª evaluación
Acabáis de hacerme el penúltimo esfuerzo de la 1ª evaluación... porque os quiero a todos este próximo fin de semana dándole un vistazo a vuestro examen y haciendo el del otro grupo:
Algunos habréis conseguido vuestros objetivos (¡enhorabuena!). Los que no, ya hablaremos de cómo podréis seguir peleando para lograrlos (¡ánimo!).
| Examen de 1º C | Solución |
|---|---|
| Examen de 1º D | Solución |
Algunos habréis conseguido vuestros objetivos (¡enhorabuena!). Los que no, ya hablaremos de cómo podréis seguir peleando para lograrlos (¡ánimo!).
viernes, 24 de noviembre de 2017
El Olimpo de los números
¿Cuál es el número más importante?
Hombre, dicho así es una pregunta un poco tonta: a ver quién convence el próximo 22 de diciembre a los afortunados, cuando los niños de San Ildefonso canten:
de que ése no es el número más importante.
Desde un punto de vista matemático, ¿cuáles son los números más importantes, los dioses del Olimpo? Aquí tenéis juntos a "los cinco magníficos" en la famosa identidad de Euler:
Adoremos a las divinidades:
Seguro que ahora estáis todos pensando: "voy a ir corriendo a un puesto de loterías a pedir el 13169, que mira si va a tener razón David, y me hago millonario y me puedo librar de él". Como matemático os digo: jugar a la lotería es tirar el dinero, y como profesor: si os queréis librar de mí, ¡estudiadme un poquito más de lo que lo hacéis!
Reto: (Sin premio, simplemente por orgullo y placer). Demuestra que el número 13169 no es primo, sacando factor común, sin hacer ninguna división ni aplicar ningún criterio de divisibilidad.
Hombre, dicho así es una pregunta un poco tonta: a ver quién convence el próximo 22 de diciembre a los afortunados, cuando los niños de San Ildefonso canten:
de que ése no es el número más importante.
Desde un punto de vista matemático, ¿cuáles son los números más importantes, los dioses del Olimpo? Aquí tenéis juntos a "los cinco magníficos" en la famosa identidad de Euler:
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Adoremos a las divinidades:
0 El cero es el elemento neutro de la suma, es decir, si a cualquier número le sumo un 0, el número no cambia. Por ejemplo: 13169 = 13169 + 0.
1 El uno es el elemento neutro de la multiplicación, es decir, si un número lo multiplico por 1, el número no cambia. Por ejemplo: 13169 = 13169 x 1.
p Trabajaremos mucho con él en la tercera evaluación. Hay dos formas de verlo:
1) Si tenemos una circunferencia (pensemos que es una rueda) de 1 metro de diámetro y la hacemos rodar una vuelta entera, recorremos una distancia de p metros, es decir, 3'14159... metros, 3 veces y un poco el diámetro de la circunferencia.
2) Si tenemos un cuadrado cuyos lados miden 1 metro, su área es 1 metro cuadrado. Si tenemos una circunferencia de radio 1 metro, su área es p metros cuadrados.
1) Si tenemos una circunferencia (pensemos que es una rueda) de 1 metro de diámetro y la hacemos rodar una vuelta entera, recorremos una distancia de p metros, es decir, 3'14159... metros, 3 veces y un poco el diámetro de la circunferencia.
2) Si tenemos un cuadrado cuyos lados miden 1 metro, su área es 1 metro cuadrado. Si tenemos una circunferencia de radio 1 metro, su área es p metros cuadrados.
e Coged una calculadora e id haciendo estas cuentas:
Si "no paráis nunca" llegaréis al valor exacto de:
e = 2,718281828459045235360287...
Estas cuentecillas aparecieron por primera vez en un problema de economía en el siglo XVII y desde entonces en muchos otros sitios. Aunque todavía no podéis pillar la idea, Eduardo siempre cuenta las cosas con gracia:
i Este vídeo sí podéis pillarlo en parte. Es más o menos lo que os quise contar el otro día:
Seguro que ahora estáis todos pensando: "voy a ir corriendo a un puesto de loterías a pedir el 13169, que mira si va a tener razón David, y me hago millonario y me puedo librar de él". Como matemático os digo: jugar a la lotería es tirar el dinero, y como profesor: si os queréis librar de mí, ¡estudiadme un poquito más de lo que lo hacéis!
Reto: (Sin premio, simplemente por orgullo y placer). Demuestra que el número 13169 no es primo, sacando factor común, sin hacer ninguna división ni aplicar ningún criterio de divisibilidad.
jueves, 23 de noviembre de 2017
2º de ESO: examen de fracción, proporcionalidad y porcentajes
En el siguiente enlace os cuelgo el examen:
Es OBLIGATORIO que lo descarguéis y lo hagáis este próximo fin de semana. El lunes lo corregiremos en clase.
Es OBLIGATORIO que lo descarguéis y lo hagáis este próximo fin de semana. El lunes lo corregiremos en clase.
lunes, 20 de noviembre de 2017
Números imaginarios
Como los de segundo ya sabéis y a los de primero os estoy contando estos días, no existen las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, si intentásemos calcular cuánto vale
nos pondríamos a buscar un número que elevado al cuadrado dé -1. Pero no existe tal número porque cuando elevamos cualquier cantidad al cuadrado, siempre obtenemos un resultado positivo, no es posible que nos salga un número negativo. Por ejemplo:
Esto lo conocían los matemáticos desde la antigüedad, y así se tiraron unos cuantos siglos, hasta que hubo algunos que se plantearon, "¿por qué no nos inventamos más números?". Dicho y hecho, se inventaron un nuevo número al que llamaron i, que sería la raíz cuadrada de -1, es decir:
Nota. En realidad:
Os cuento alguna cosilla:
- el nombre lo dice todo. Al principio los matemáticos trabajaron a regañadientes con estos nuevos números y los despreciaban porque decían que "en realidad no existían".
- fue Gauss (sí, el de 1+2+3+...+998+999+1000) el que dijo, "señores, estos son números como los demás y merecen todo nuestro respeto, ¡se acabó el racismo numérico!". Al ser Gauss una eminencia por aquel entonces, los demás le hicieron caso.
- como muchas veces ha pasado en nuestra ciencia favorita, al principio estos nuevos números fueron un gran avance en matemáticas (os lo contarán en el futuro: dieron lugar al Teorema Fundamental del Álgebra), pero no servían absolutamente para nada en el mundo real.
- esto no duró mucho: enseguida se descubrieron aplicaciones y se resolvieron importantes problemas de física e ingeniería gracias a los números imaginarios.
- los matemáticos no pararon aquí. Una vez que vieron que se podían inventar nuevos números, lo han venido haciendo cada vez que con los que tienen no les llega para resolver algún problema.
- en cuanto a vosotros, tenéis una cita con los números imaginarios en 1º de bachillerato de Ciencias. ¡No intentéis escapar!
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| A los números imaginarios también se les dice números complejos |
sábado, 18 de noviembre de 2017
2º de ESO: fracciones, proporcionalidad y porcentajes
Os enlazo las soluciones a dos hojas de ejercicios:
Los problemas se pueden hacer de distintas maneras: a veces con más de una "técnica" (reducción a la unidad o regla de tres) y otras siguiendo un camino más o menos directo al resultado concreto que nos piden.
A vuestra habitual pregunta: ¿y cómo tenemos que hacerlo? ¿puedo hacerlo...?, mi habitual respuesta: intentad entenderlo todo y buscad salir de vuestra "zona de confort" (que es la mejor manera de ir ampliándola poco a poco).
miércoles, 15 de noviembre de 2017
Concursos de matemáticas
En primer lugar, y por ello el más importante, está el:
"Concurso de la 1ª evaluación"
Os voy a ir planteando una serie de retos y, según vayáis contestando, acumularéis puntos. Están ya en marcha (todos ellos y los que vendrán tienen como fecha límite para responder el 18 de diciembre):
- Reto de la Conjetura de Golbach. (multiplica por 2 la puntuación final).
- Reto del examen de divisibilidad (al final de la solución de este examen). (10 puntos) Entregádmelo en papel.
- Reto de Gauss. (10 puntos)
¿Cuál será el premio? Una flamante calculadora científica (por cierto, va siendo hora de que consigáis una, así que, o participáis en el concurso, o tenéis alguna reliquia de vuestros padres, o se la vais pidiendo a los Reyes Magos):
Os recuerdo las:
Hablamos ahora del:
Una competición que algunos ya conocéis que organiza la Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas. Iremos hablando. Algunas cosas que os cuento ya:
¿Cuál será el premio? Una flamante calculadora científica (por cierto, va siendo hora de que consigáis una, así que, o participáis en el concurso, o tenéis alguna reliquia de vuestros padres, o se la vais pidiendo a los Reyes Magos):
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| No tengo acciones, ni en Casio ni en Amazon |
Hablamos ahora del:
"Concurso de Primavera"
- habrá un examen en el instituto (suele hacerse en febrero),
- la participación es voluntaria,
- competiréis juntos los de 1º y 2º de ESO (los niveles van de dos en dos cursos; los otros: 5º y 6º de Primaria, 3º y 4º de ESO y 1º y 2º de Bachillerato),
- los mejores pasaréis a la fase final de La Rioja que se celebrará por marzo/abril. De ahí los ganadores acudirán a la fase nacional (a finales del curso),
- os enlazo un ejemplo de examen por si queréis pegarle un vistazo:
Y, por último, vamos a ver cómo nos cuenta Eduardo la curiosa historia del:
"Premio Nobel de Matemáticas"
domingo, 12 de noviembre de 2017
Carl Friedrich Gauss
Cuenta la leyenda que un profesor de matemáticas se enfadó con un alumno que estaba dando mucha guerra en clase (seguro que la historia es inventada, ¿dónde se ha visto un alumno así?), y como castigo y para tenerlo entretenido un buen rato, le mandó que sumase los 1000 primeros números naturales, es decir:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 998 + 999 + 1000
¡Y ni se te ocurra utilizar la calculadora! –casi le gritó el enfadado profesor-. (Esto también tiene que ser inventado. ¿Acaso conocéis a algún profesor que diga eso?).
Y ahí se quedó el “pobre” alumno, en un rincón de la clase, haciendo cuentas... y a los pocos segundos le dijo al profesor, “Ya lo tengo, 500500”.
Carl Friedrich Gauss, que así se llamaba el niño, apuntaba las maneras que le llevarían a ser uno de los más grandes matemáticos de la historia. Y ese día, en su cuaderno, el profesor se encontró con esto:
Reto: Emulando a Gauss, calculad la suma de los primeros 130 números naturales. Tenéis de plazo hasta el próximo domingo 19 de noviembre. Todos los que respondáis correctamente (explicándolo) acumularéis 10 puntos para el que vamos a llamar "Concurso de la 1ª evaluación", que tendrá como premio una calculadora científica.
Nota: Parece ser que la historia anterior es inventada pero, ¿qué os parece esta otra? (Fuente: blog El Aleph de El País). Copio y pego:
La segunda historia de hoy tiene como protagonista al matemático George Dantzig. Se cuenta que cierto día Dantzig llegó tarde a clase, y al sentarse vio que su profesor, Jerzy Neyman, había escrito en la pizarra dos problemas relacionados con estadística. Dantzig pensó que se trataba de trabajo para casa, y como buen estudiante los copió para ponerse con ellos más tarde. Según palabras del propio Dantzig, estos problemas le parecieron "algo más complicados de lo habitual", pero la cuestión es que consiguió dar con la solución de ambos. Después de resolverlos, entregó su trabajo al profesor y ahí quedo la cosa.
Lo que no sabía Dantzig era que había encontrado demostraciones para dos teoremas de estadística que carecían de demostración hasta la fecha. Un año después, cuando Dantzig estaba pensando tema para su tesis, Neyman le dijo que metiera las dos demostraciones en una carpeta y se las aceptaría como tesis.
viernes, 10 de noviembre de 2017
1º de ESO: examen de divisibilidad
En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:
Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.
Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.
martes, 7 de noviembre de 2017
2º de ESO: examen de números reales
En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:
Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.
Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.
lunes, 6 de noviembre de 2017
La conjetura de Golbach
Estos días andamos en 1º sacándole partido al Teorema Fundamental de la Aritmética, el que dice (en nuestra versión pachanguera) que "los números primos son los ladrillos con los que se construyen todos los números, y que la multiplicación es el cemento que los une".
Os voy a proponer un "retito", a ver si alguno sois capaz de hacerlo:
Reto: Demuestra que cualquier número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
Vamos a ver de qué va el asunto, que los números primos funcionan bien con la multiplicación, pero esto de andar sumándolos es un poco raro:
4=2+2 (puede ser el mismo primo sumado dos veces)
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5 (éste se puede poner de dos formas)
12=5+7
14=3+11=7+7
16=3+13=5+11
...
Pero claro, esto no es una manera de demostrar nada. Los números pares son infinitos, así que no sirve "ir probando" porque no acabaríamos nunca. Necesitaríamos encontrar algún razonamiento general que valga para cualquier número par. ¿Se os ocurre algo?
Podéis intentarlo, pero no os desmoralicéis si no os sale porque os estoy tomando el pelo. El resultado de arriba es la Conjetura de Golbach (en matemáticas una conjetura es algo que se cree cierto pero que todavía no se ha conseguido demostrar). Se trata de un problema que los mejores matemáticos llevan intentando resolver, sin éxito, casi 300 años. El que lo haga se ganará la inmortalidad (y hasta es posible que salga en el telediario, eso sí, al final, después de la noticia de algún nuevo corte de pelo de Messi o chorradas por el estilo).
Por cierto, os presento al Messi de las matemáticas. ¡Esto sí que es impresionante, y no un tío atontadillo en calzoncillos dándole patadas a un balón!
Antes de ponernos a competir con Terence para demostrar la Conjetura de Golbach, ¿os parece que calentemos con un reto más light?
Reto: Encuentra todas las descomposiciones como suma de dos números primos, de los números pares que van desde el 16 hasta el 30. Os hago yo el primero y el último:
16=3+13=5+11
...
30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)
(Tenéis de tiempo hasta el próximo domingo 12 de noviembre. Los que respondáis correctamente multiplicaréis por 2 vuestras posibilidades en el próximo reto con premio).
Os voy a proponer un "retito", a ver si alguno sois capaz de hacerlo:
Reto: Demuestra que cualquier número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
Vamos a ver de qué va el asunto, que los números primos funcionan bien con la multiplicación, pero esto de andar sumándolos es un poco raro:
4=2+2 (puede ser el mismo primo sumado dos veces)
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5 (éste se puede poner de dos formas)
12=5+7
14=3+11=7+7
16=3+13=5+11
...
Pero claro, esto no es una manera de demostrar nada. Los números pares son infinitos, así que no sirve "ir probando" porque no acabaríamos nunca. Necesitaríamos encontrar algún razonamiento general que valga para cualquier número par. ¿Se os ocurre algo?
Podéis intentarlo, pero no os desmoralicéis si no os sale porque os estoy tomando el pelo. El resultado de arriba es la Conjetura de Golbach (en matemáticas una conjetura es algo que se cree cierto pero que todavía no se ha conseguido demostrar). Se trata de un problema que los mejores matemáticos llevan intentando resolver, sin éxito, casi 300 años. El que lo haga se ganará la inmortalidad (y hasta es posible que salga en el telediario, eso sí, al final, después de la noticia de algún nuevo corte de pelo de Messi o chorradas por el estilo).
Por cierto, os presento al Messi de las matemáticas. ¡Esto sí que es impresionante, y no un tío atontadillo en calzoncillos dándole patadas a un balón!
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| La foto es antigua, ¡ya es cuarentón! |
Antes de ponernos a competir con Terence para demostrar la Conjetura de Golbach, ¿os parece que calentemos con un reto más light?
Reto: Encuentra todas las descomposiciones como suma de dos números primos, de los números pares que van desde el 16 hasta el 30. Os hago yo el primero y el último:
16=3+13=5+11
...
30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)
(Tenéis de tiempo hasta el próximo domingo 12 de noviembre. Los que respondáis correctamente multiplicaréis por 2 vuestras posibilidades en el próximo reto con premio).
miércoles, 1 de noviembre de 2017
Entrenador de monos
Hay una frase que me dedicáis de tiempo en tiempo: "David, ¿puedo hacerlo de esta otra forma? Es que así lo entiendo mejor que de la forma que nos dices tú".
Habitualmente, esa "otra forma" que "entendéis mejor", consiste en aplicar una regla, mientras que "la forma que os digo yo", suele ser reproducir el razonamiento que hay detrás de la misma.
Os hago una pregunta: ¿hay algo que entender para aplicar una regla, para seguir las instrucciones de una receta?
En matemáticas, la regla, la receta, es el resultado final al que se llega después de un razonamiento, y es muy cómoda desde un punto de vista práctico (la aplicas y ya está, consigues el resultado que querías), pero completamente inútil cuando se trata (y es de lo que se trata) de desarrollar vuestro cerebro y vuestra capacidad de razonamiento.
Dejadme poneros un ejemplo tonto: calentar un vaso de leche es muy fácil (Paso 1: se mete en el microondas, Paso 2: se pone el temporizador en un minuto y se le da a ON, Paso 3: cuando suena el timbre se saca el vaso del microondas). Insisto, ¿hay algo que entender para seguir las instrucciones y calentar un vaso de leche?
Pues bien, como vuestro profesor no tengo ningún interés en que sepáis calentar vasos de leche, quiero que entendáis lo que hay detrás: ¿qué es el calor? ¿por qué el microondas calienta la leche?
Tengo una respuesta que me sale sola cada vez que me decís la frase del principio (algunos ya me la habéis oído): yo no soy un entrenador de monos. Por dos motivos:
1) Porque sería una falta de respeto trataros como a monos, ya que sois infinitamente más capaces e inteligentes.
2) Porque me sentiría un profesor fracasado si os tratase como a monos, ya que ¡no tengo ni idea de cómo podría conseguir que le ganaseis al del vídeo!
Habitualmente, esa "otra forma" que "entendéis mejor", consiste en aplicar una regla, mientras que "la forma que os digo yo", suele ser reproducir el razonamiento que hay detrás de la misma.
Os hago una pregunta: ¿hay algo que entender para aplicar una regla, para seguir las instrucciones de una receta?
En matemáticas, la regla, la receta, es el resultado final al que se llega después de un razonamiento, y es muy cómoda desde un punto de vista práctico (la aplicas y ya está, consigues el resultado que querías), pero completamente inútil cuando se trata (y es de lo que se trata) de desarrollar vuestro cerebro y vuestra capacidad de razonamiento.
Dejadme poneros un ejemplo tonto: calentar un vaso de leche es muy fácil (Paso 1: se mete en el microondas, Paso 2: se pone el temporizador en un minuto y se le da a ON, Paso 3: cuando suena el timbre se saca el vaso del microondas). Insisto, ¿hay algo que entender para seguir las instrucciones y calentar un vaso de leche?
Pues bien, como vuestro profesor no tengo ningún interés en que sepáis calentar vasos de leche, quiero que entendáis lo que hay detrás: ¿qué es el calor? ¿por qué el microondas calienta la leche?
Tengo una respuesta que me sale sola cada vez que me decís la frase del principio (algunos ya me la habéis oído): yo no soy un entrenador de monos. Por dos motivos:
1) Porque sería una falta de respeto trataros como a monos, ya que sois infinitamente más capaces e inteligentes.
2) Porque me sentiría un profesor fracasado si os tratase como a monos, ya que ¡no tengo ni idea de cómo podría conseguir que le ganaseis al del vídeo!
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