Reto de Pi (final): la cuadratura del círculo

Los matemáticos de la antigua Grecia se inventaron el “juego de la regla y el compás” en el que, siguiendo unas determinadas normas, había que construir figuras geométricas, dividir segmentos o ángulos en varias partes iguales, etc, utilizando una regla y un compás. No vamos a entrar en detalles pero una de las normas es que la regla no tiene marcas, no sirve para medir, sólo se puede utilizar para pintar segmentos o rectas a partir de dos puntos.

Una de las modalidades del “juego de la regla y el compás” era la de construir números. La idea es sencilla: partimos de un papel en el que tenemos dibujado un segmento de longitud 1 (da igual la unidad; por comodidad ponemos nombre a los extremos, A y B):

y, utilizando un compás y una regla (insisto, sin números, no podemos medir con ella), tenemos que intentar construir segmentos de la longitud que nos digan. Vamos a ver tres ejemplos:

1) Construir un segmento de longitud 2. El 2 sale muy fácil: prolongamos por la derecha el segmento original con la regla, pinchamos con el compás en el punto B, lo abrimos hasta el punto A y lo giramos y marcamos el punto C. Desde A hasta C el segmento resultante mide 2.

Siguiendo la misma idea sería fácil construir segmentos de longitudes 3, 4, 5, 6...

2) Construir un segmento de longitud 0'5. ¡Seguro que lo habéis hecho alguna vez! Simplemente se trata de dibujar la mediatriz del segmento que nos dan:

3) Construir un segmento de longitud raíz de 2. Lo tenemos a tiro aprovechando los ejemplos anteriores:

y ya lo tenemos, si recordamos el Teorema de Pitágoras:

Volvamos al dibujo anterior:

¿Cuánto mide el segmento DC?

Los griegos jugaron bastante a este juego y lograron construir un montón de números... hasta que lo intentaron con nuestro querido p.

La cuestión es: partiendo de un segmento de longitud 1, ¿podemos construir con regla y compás un segmento que tenga longitud  p?

En realidad este problema se puede plantear de otra manera más glamurosa que es la que le da nombre: dado un círculo de radio 1, ¿podemos construir con regla y compás un cuadrado que tenga su misma área?

¿Podemos conseguir la cuadratura del círculo?

En 1882, más de 2000 años después de que hubiera sido planteado, tras haber resistido a los mejores matemáticos del mundo durante dos milenios, el problema fue derrotado: Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Lindemann para los amigos) se ganó la inmortalidad demostrando que NO, que LA CUADRATURA DEL CÍRCULO ES IMPOSIBLE (y por eso, igual ya lo habéis oído alguna vez, es por lo que se emplea el dicho, "eso es la cuadratura del círculo", para referirse a algo que es imposible de hacer).

Por cierto, id sacando los pañuelos de papel, porque no me cabe ninguna duda de que con lo que ahora mismo os voy a decir vuestros ojos se van a inundar de lágrimas de emoción sincera: ¿sabéis cómo consiguió resolver Lindemann el problema de la cuadratura del círculo? Con ecuaciones. Y ahora viene lo mejor, ¿sabéis qué tipo de ecuaciones? ¡Ecuaciones con polinomios! Así que los de 1º ya sabéis, ¡al ataque, a por los polinomios!

Y todos, y en especial Luna y Fernando, a por el siguiente reto:

Reto IV de p: Construye con regla y compás:

• Un segmento de longitud raíz de 5.
• Un segmento de longitud raíz de 3.

El plazo termina el próximo 13 de marzo. Por cierto, el día siguiente, 14-3 para nosotros y 3-14 para los anglosajones (que ponen el mes antes que el día), es el Día de p.