A todos aquellos que estáis intentando entender esto. Para un profesor, vuestro esfuerzo es un regalo. ¡Gracias chicos!
martes, 30 de enero de 2018
sábado, 27 de enero de 2018
Reto de Pi (Primera parte)
¿Sabéis qué tenéis que hacer si alguna vez os encontráis con un extraterrestre y no sabéis de qué hablar, porque no entendéis su idioma y porque no tenéis ni idea de cuáles son los temas de conversación típicos de su planeta? Tenéis que decirle:
(bip, bip), (bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip)...
Cuando agotéis ese tema de conversación (con 13 bips ya deberíais tener claro, el extraterrestre y vosotros, que estáis hablando de los números primos), podéis hacer el siguiente dibujo:
que refleja que cuando una rueda gira una vuelta completa recorre una distancia tres veces y "un poquito más" su diámetro, y podéis enseñarle a vuestro nuevo amigo el símbolo que nosotros utilizamos para referirnos a ese número que también aparece como el área de una circunferencia de radio 1,
p nos acompaña a los seres humanos prácticamente desde que descubrimos la rueda y en cuanto empezamos a desarrollar las matemáticas intentamos calcularlo con exactitud. Uno de los métodos más simples y elegantes fue el utilizado por Arquímedes. Su idea consistió en aproximar el valor del área de una circunferencia de radio 1 (es decir, p), inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares (que son aquellos que tienen todos sus lados iguales). Por ejemplo, podemos empezar con el cuadrado:
Fijaos que el valor de p estará entre lo que valgan las áreas del cuadrado inscrito (que será menor) y el circunscrito (que será mayor). De hecho, este es vuestro primer reto para ganar la camiseta:
Reto I de p: Calcula las áreas de los anteriores cuadrados (inscrito y circunscrito) para decir entre qué dos valores está p. Tenéis que contestar, únicamente la solución, en los comentarios de esta entrada (recordad que tiene más puntos quien antes conteste) y, luego en clase, enseñarme en papel las correspondientes explicaciones. Al final de la entrada os doy una pista.
Seguimos: naturalmente, cuantos más lados tenga el polígono que utilicemos, más se "pegará" a la circunferencia, y mejor será la aproximación que consigamos:
Arquímedes (III a. C.) llegó a hacer los cálculos para un polígono con ¡96 lados! y consiguió la siguiente aproximación:
Terminamos en modo preguntas y respuestas:
¿Por qué se utilizan polígonos regulares? Porque a ellos es "fácil" calcularles el área.
¿Por qué Arquímedes paró con 96 lados? En realidad empezó con 6 lados y fue duplicando cada vez: 12, 24, 48 y 96. Seguramente llegaría a intentarlo con 192 lados pero, o le aburrió el tema, o se murió antes de conseguir acabar las cuentas, que eran cada vez más pesadas.
¿Alguien continuó utilizando el método de Arquímedes? Sí, hasta que se descubrieron otros mejores. Algunos siglos después, hacia el año 250 d. C., el matemático chino Liu Hui aproximó las cinco primeras cifras (3'14159) con un polígono de 3072 lados; ya en el siglo XVII Vieta hizo las cuentas para polígonos con 393216 lados y llegó a las nueve cifras de precisión (3'141592653, más o menos lo que aparece en nuestras calculadoras cuando les pedimos p); y el record lo consiguió Ludolph van Ceulen, un alemán que dedicó gran parte de su vida a calcular:
(bip, bip), (bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip)...
Cuando agotéis ese tema de conversación (con 13 bips ya deberíais tener claro, el extraterrestre y vosotros, que estáis hablando de los números primos), podéis hacer el siguiente dibujo:
y seguramente, en ese mismo instante él os enseñará el símbolo que utilicen en su planeta para referirse a uno de los objetos más fascinantes del Universo, el número p. ¡Las matemáticas son el lenguaje del Universo!
Nota: Esta introducción me ha salido un poco marciana porque últimamente estoy leyendo libros de ciencia ficción que van de este asunto.
p nos acompaña a los seres humanos prácticamente desde que descubrimos la rueda y en cuanto empezamos a desarrollar las matemáticas intentamos calcularlo con exactitud. Uno de los métodos más simples y elegantes fue el utilizado por Arquímedes. Su idea consistió en aproximar el valor del área de una circunferencia de radio 1 (es decir, p), inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares (que son aquellos que tienen todos sus lados iguales). Por ejemplo, podemos empezar con el cuadrado:
Fijaos que el valor de p estará entre lo que valgan las áreas del cuadrado inscrito (que será menor) y el circunscrito (que será mayor). De hecho, este es vuestro primer reto para ganar la camiseta:
Reto I de p: Calcula las áreas de los anteriores cuadrados (inscrito y circunscrito) para decir entre qué dos valores está p. Tenéis que contestar, únicamente la solución, en los comentarios de esta entrada (recordad que tiene más puntos quien antes conteste) y, luego en clase, enseñarme en papel las correspondientes explicaciones. Al final de la entrada os doy una pista.
Seguimos: naturalmente, cuantos más lados tenga el polígono que utilicemos, más se "pegará" a la circunferencia, y mejor será la aproximación que consigamos:
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| Pentágono, hexágono y octógono. |
Arquímedes (III a. C.) llegó a hacer los cálculos para un polígono con ¡96 lados! y consiguió la siguiente aproximación:
que si pasáis a decimales veréis que proporciona 3'14, es decir, de forma exacta las dos primeras cifras de p.
Terminamos en modo preguntas y respuestas:
¿Por qué se utilizan polígonos regulares? Porque a ellos es "fácil" calcularles el área.
¿Por qué Arquímedes paró con 96 lados? En realidad empezó con 6 lados y fue duplicando cada vez: 12, 24, 48 y 96. Seguramente llegaría a intentarlo con 192 lados pero, o le aburrió el tema, o se murió antes de conseguir acabar las cuentas, que eran cada vez más pesadas.
¿Alguien continuó utilizando el método de Arquímedes? Sí, hasta que se descubrieron otros mejores. Algunos siglos después, hacia el año 250 d. C., el matemático chino Liu Hui aproximó las cinco primeras cifras (3'14159) con un polígono de 3072 lados; ya en el siglo XVII Vieta hizo las cuentas para polígonos con 393216 lados y llegó a las nueve cifras de precisión (3'141592653, más o menos lo que aparece en nuestras calculadoras cuando les pedimos p); y el record lo consiguió Ludolph van Ceulen, un alemán que dedicó gran parte de su vida a calcular:
3'14159265358979323846264338327950288
¡Con razón pidió que grabasen sobre su tumba esas 35 cifras decimales!
¿Cuáles son los métodos mejores que el de Arquímedes? Próximamente en vuestro blog matemático favorito.
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Pista para el reto: en la 3ª evaluación estudiaremos el teorema de Pitágoras, que relaciona las longitudes de los tres lados en un triángulo rectángulo (los lados se llaman: catetos, que son los dos que forman el ángulo de 90º, e hipotenusa, que es el lado opuesto a dicho ángulo).
En concreto, el teorema de Pitágoras dice que (es habitual escribirlo de cualquiera de las dos formas siguientes):
por ejemplo:
Pues es el teorema de Pitágoras el que os va a ayudar a obtener la longitud del lado (y con ello el área) del cuadrado inscrito. Este problema lo haremos en clase en la 3ª evaluación: a ver si sois capaces de sacarlo ahora por vuestra cuenta. ¡Suerte!
viernes, 26 de enero de 2018
Concurso de primavera
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| ¡La primavera se está acercando! |
En torno al 21 de febrero realizaremos el examen clasificatorio para la Fase Final del Concurso de Primavera. Ya os confirmaré aula, día y hora exactos; seguramente será por la tarde en la Sala de Usos Múltiples del instituto.
¿Quiénes podéis participar? Todos los que queráis... pero debéis mostrar un poquito de interés previo: tenéis que intentar hacer (y entregarme) los ejercicios del examen del siguiente enlace:
¿Quiénes competís? Hay varios niveles. En el vuestro (Nivel 2) competiréis con todos los alumnos de 1º y de 2º de ESO de La Rioja.
¿Y cómo será la prueba? Similar al examen que os he enlazado.
¿Merece la pena que os apuntéis? Es sobre todo una actividad recreativa para los que disfrutéis con las matemáticas y os queráis retar a vosotros mismos.
¿Cómo podéis prepararos? La Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas ha creado una web en la que podéis consultar exámenes de otros años y resolver ejercicios online (pulsad directamente en Acceder, sin Usuario ni Contraseña).
Enlace a la Web del Concurso de Primavera
Esta próxima semana, en los recreos, os explicaré alguna cosilla a los que os animéis. Y si la experiencia funciona y nos lo pasamos bien, ya pensaremos si le damos continuidad a la cosa.
jueves, 25 de enero de 2018
El reto de pi
Veo que habéis pasado totalmente del Reto de la suma infinita (y eso que de lo que se trataba era de usar la calculadora, que parece que os gusta lo mismo que a un tonto un lápiz -sí, es lo que me viene a la cabeza cuando os veo a alguno jugando con la calculadora mientras yo estoy explicando algo en la pizarra-. ¡Queda prohibida hasta la 3ª evaluación! La que vea, la requiso).
A ver si tiene más éxito el Reto de p. Las normas son las siguientes:
- Próximamente iré publicando varias entradas dedicadas a uno de los objetos más fascinantes y hermosos del universo: el número p.
- Cada una de esas entradas tendrá un reto que valdrá 15 puntos. El primero que responda correctamente acumulará esos puntos, el segundo 10 y el tercero 5.
- El que más puntos acumule ganará una camiseta de p. Algo parecido a esto:
Os recuerdo el reto de la semana pasada que estaba pensado como introducción al Reto de p. Simplemente había que hacer unas cuentecillas con la calculadora y, como casi siempre en matemáticas, los importante no es el resultado sino lo que hay detrás.
Reto de la Suma infinita.
1) Coge una calculadora.
2) Haz la siguiente suma de 15 números.
3) Multiplica el resultado por 6.
4) Y por último, haz la raíz cuadrada del resultado del paso anterior.
Solución. Yo no lo he hecho con calculadora sino con una hoja de cálculo. Ahí va:
En el mismo reto os dije que os iba a contar cuál sería el resultado si en vez de pararnos en el 15 siguiésemos hasta "el infinito". No vamos a llegar a tanto, pero como es el ordenador el que hace las cuentas continuamos hasta 100 y luego hasta 600 (¡tenéis que aprender a manejar una hoja de cálculo, es una maravilla!):
¿A qué tiene pinta de que se está acercando el resultado cuantos más números sumamos?
A ver si tiene más éxito el Reto de p. Las normas son las siguientes:
- Próximamente iré publicando varias entradas dedicadas a uno de los objetos más fascinantes y hermosos del universo: el número p.
- Cada una de esas entradas tendrá un reto que valdrá 15 puntos. El primero que responda correctamente acumulará esos puntos, el segundo 10 y el tercero 5.
- El que más puntos acumule ganará una camiseta de p. Algo parecido a esto:
Os recuerdo el reto de la semana pasada que estaba pensado como introducción al Reto de p. Simplemente había que hacer unas cuentecillas con la calculadora y, como casi siempre en matemáticas, los importante no es el resultado sino lo que hay detrás.
Reto de la Suma infinita.
1) Coge una calculadora.
2) Haz la siguiente suma de 15 números.
4) Y por último, haz la raíz cuadrada del resultado del paso anterior.
Solución. Yo no lo he hecho con calculadora sino con una hoja de cálculo. Ahí va:
En el mismo reto os dije que os iba a contar cuál sería el resultado si en vez de pararnos en el 15 siguiésemos hasta "el infinito". No vamos a llegar a tanto, pero como es el ordenador el que hace las cuentas continuamos hasta 100 y luego hasta 600 (¡tenéis que aprender a manejar una hoja de cálculo, es una maravilla!):
¿A qué tiene pinta de que se está acercando el resultado cuantos más números sumamos?
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Postdata. En el examen de problemas de 1º del viernes pasado había un ejercicio de una figura que representaba la belleza de las matemáticas (¿a que os gustó el problema que me propuso la almohada?). Justo hoy me acaba de enviar una foto una amiga que está por Inglaterra. Es la estatua de un gran matemático con una vida de película, a cuyos pies hay una inscripción que recoge parte de una cita de Bertrand Russell (otro gran matemático-filósofo), que os reproduzco completa:
"La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía".
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| Alan Turing, uno de los padres de la Computación |
viernes, 19 de enero de 2018
1º de ESO: examen de problemas
En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:
Es buena idea que descarguéis el examen y os sigáis peleando un poco más con los problemas que no os hayan salido a ver si conseguís vencerlos.
Es buena idea que descarguéis el examen y os sigáis peleando un poco más con los problemas que no os hayan salido a ver si conseguís vencerlos.
jueves, 18 de enero de 2018
Sumemos infinitos números
Ya hemos comentado alguna vez que el infinito es un concepto que trajo (y sigue trayendo) de cabeza a los matemáticos. Vamos a darle una vuelta de tuerca a lo que sabemos. ¡Concentraos!
¡Uy, perdón, vuestro profesor es un cutre! (Lo elegante es usar el mínimo común múltiplo).
¿Creéis que ya sabéis sumarlo todo? Queridos míos, si algo bueno tienen las matemáticas es que NUNCA JAMÁS, NADIE lo sabrá TODO.
Os voy a hacer una pregunta, ¿podemos sumar infinitos números? No, por favor, no me pongáis esa cara:
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| ¿Cuántos números dices que hay que sumar? |
Es posible que ahora estéis pensando, "¿sumar infinitos números? ¿eso dará infinito, no?". Veamos un ejemplo:
Pues hombre, aunque nos siga pareciendo un poco raro eso de sumar infinitos números, algo dentro de nuestra cabecita nos dice que si nos ponemos a sumar unos "y no paramos nunca", la suma total es infinito. Vale. Otro ejemplo:
Vamos a pasarlo a decimales para situarnos:
Hummmmm, ¿qué está pasando aquí? La idea es que tenemos una "pelea" entre dos conceptos infinitos: el que la cantidad de números que queremos sumar es infinita, y que cada vez vamos a ir sumando números que se van haciendo "infinitamente más pequeños". En estas situaciones, dependiendo de "cuál de los dos infinitos gane la pelea", puede ocurrir que la suma dé infinito... ¡o dé un número!
¿No me creéis? Coged un folio. (¡Hacedlo de verdad!). Partidlo por la mitad. Dejad una mitad (1/2 de folio) a la derecha y quedaos con la otra mitad. Partid esa mitad por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/4 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/8 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/16 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/32 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. (...)
Si no parásemos "nunca", ¿qué acabaríamos teniendo en el montoncito de la derecha? ¡Un folio completo! (hecho infinitos trocitos eso sí). Es decir:
Dicen que una imagen vale más que mil palabras:
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| Imagen: http://en.citizendium.org/wiki/File:Geometric_series.png |
Os toca:
Reto de la Suma infinita.
1) Coge una calculadora.
2) Haz la siguiente suma de 15 números.
4) Y por último, haz la raíz cuadrada del resultado del paso anterior.
En el futuro os comentaré qué sale si hacéis lo anterior, pero sin parar en el 15 sino siguiendo hasta el infinito... ¿alguna idea? ¿algún numerillo famoso de las matemáticas?
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| Hasta el infinito...y más allá. |
Entre los que hagáis el reto sortearemos un libro sobre la proporción áurea. Tenéis hasta el próximo miércoles.
2º de ESO: examen de operaciones algebraicas
En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:
Especialmente en esta ocasión, porque nos vamos a pasar toda la 2ª evaluación haciendo operaciones algebraicas, es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.
Además, he añadido un extra (es difícil y no me interesa para la asignatura; tomáoslo como un reto). A ver si alguno os animáis y os sale.
Especialmente en esta ocasión, porque nos vamos a pasar toda la 2ª evaluación haciendo operaciones algebraicas, es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.
Además, he añadido un extra (es difícil y no me interesa para la asignatura; tomáoslo como un reto). A ver si alguno os animáis y os sale.
domingo, 14 de enero de 2018
Mi primer día como profesor
(Esto todavía no es el chiste).Están un matemático, un físico y un ingeniero a los que se les pide que calculen el volumen de una canica de un centímetro de radio.
El matemático, el crack, no es que sepa calcularlo, es que es capaz de hacer una demostración que lleva a la fórmula para calcular el volumen de cualquier esfera de radio R (esta cuenta se hace en la universidad, y alguna cosita parecida, pero mucho más sencilla, en bachillerato; ¿a que los símbolos son bonitos?):
El físico propondría hacerlo con un experimento. Echamos agua en una probeta en la que posteriormente sumergimos la canica: entonces el volumen de la canica es exactamente lo que ha subido el nivel del agua de la probeta:
¿Qué haría el ingeniero? "Aprovecharse" del trabajo del matemático y limitarse a hacer la cuenta con una calculadora (¿sabéis hacerla vosotros?). Y diría que el volumen de la canica es:
La primera vez en mi vida que me disponía a dar una clase (los alumnos eran futuros ingenieros) se me ocurrió empezar "haciéndome el gracioso", contando un chiste que a mí me había hecho reírme a carcajadas. Aunque en el chiste el matemático y el físico también son ridiculizados, la vacilada más fuerte es para el ingeniero. ¿Cuál es la idea? Es habitual burlarse de los ingenieros porque aplican las matemáticas haciendo aproximaciones a lo bestia, o sin preocuparse por comprobar que se cumplen las condiciones que permiten aplicar una determinada fórmula (naturalmente es una exageración... aunque hay algo de verdad).
*************
Entré en clase todo serio (ellos también lo estaban porque para la mayoría era su primer instante en la universidad) y sin dar siquiera los buenos días dibujé en la pizarra algo parecido a esto (me animo a hacer un Leirepaint):
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| Creo que me ha salido bastante mejor que entonces |
Me di la vuelta y conté el chiste (añado ahora algún comentario entre paréntesis):
Están un matemático, un físico y un ingeniero a los que se les pide que calculen el volumen de una vaca.
El matemático dice: bah, trivial, basta con hacer una integral. (Lo que teóricamente es cierto, y es fácil de hacer, como hemos hecho arriba, para una esfera, pero es inútil en el mundo real para calcular el volumen de una vaca).
El físico dice: bah, fácil, metemos la vaca en una probeta con agua y lo que sube el nivel es el volumen de la vaca. (Más que probeta tendría que ser en una piscina. Ayyy, los físicos y sus experimentos, menuda cornada les iba a dar la vaca si intentaran meterla en una piscina).
Y va el ingeniero y dice: está tirado. Suponemos que la vaca es esférica y aplicamos la fórmula: el volumen es cuatro tercios de pi por el radio al cubo.
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| ¿Vaca esférica? ¿Radio de una vaca? |
De hecho, este chiste se conoce como "el de la vaca esférica".
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Los alumnos me miraron todos muy serios... y ese fue el final de mi carrera como profesor-humorista. Creo que he tenido algunas pesadillas relacionadas con dicho momento. ¡Nunca más!
viernes, 12 de enero de 2018
1º de ESO: entrenando para el examen del viernes
Aquí os cuelgo el examen de problemas que puse hace dos años y la solución.
Ya sabéis las normas:
- el sábado le dedicáis una hora,
- el domingo consultáis la solución e intentáis entender vosotros mismos lo que no os haya salido.
Por si os sabe a poco, os propongo otros dos.
Problema 1: Una vaca se tira de cabeza a una piscina con forma de ortoedro de 15 metros de largo y 12 de ancho:
¿Cuál es el volumen (en litros) de la vaca si el nivel del agua de la piscina sube 13 milímetros cuando la vaca bucea? (Son 13 milímetros con respecto al nivel inicial de la piscina, antes de que se tirase la vaca).
A ver este otro que es más difícil:
Problema 2: En una una piscina con forma de ortoedro de 15 metros de largo y 12 de ancho lanzamos otro ortoedro de hierro de 6 metros de largo, 4 metros de ancho y 15 centímetros de alto. ¿Cuánto sube el nivel del agua? (De nuevo con respecto al nivel inicial de la piscina; se supone que el ortoedro de hierro se sumerge completamente en el agua).
Si os salen bien os cuento un chiste.
Por cierto, a propósito de lo que hoy nos ha preguntado Héctor, aquí tenéis un avión justo en el momento de superar la velocidad mach 1.
Ya sabéis las normas:
- el sábado le dedicáis una hora,
- el domingo consultáis la solución e intentáis entender vosotros mismos lo que no os haya salido.
Por si os sabe a poco, os propongo otros dos.
Problema 1: Una vaca se tira de cabeza a una piscina con forma de ortoedro de 15 metros de largo y 12 de ancho:
 |
| Esto es un ortoedro |
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| Y esta es la vaca |
¿Cuál es el volumen (en litros) de la vaca si el nivel del agua de la piscina sube 13 milímetros cuando la vaca bucea? (Son 13 milímetros con respecto al nivel inicial de la piscina, antes de que se tirase la vaca).
A ver este otro que es más difícil:
Problema 2: En una una piscina con forma de ortoedro de 15 metros de largo y 12 de ancho lanzamos otro ortoedro de hierro de 6 metros de largo, 4 metros de ancho y 15 centímetros de alto. ¿Cuánto sube el nivel del agua? (De nuevo con respecto al nivel inicial de la piscina; se supone que el ortoedro de hierro se sumerge completamente en el agua).
Si os salen bien os cuento un chiste.
Por cierto, a propósito de lo que hoy nos ha preguntado Héctor, aquí tenéis un avión justo en el momento de superar la velocidad mach 1.
jueves, 11 de enero de 2018
Lizzie Velásquez
Os enlazo el vídeo que hemos visto hoy en la tutoría.
Y también este otro vídeo que me ha hecho llegar Javier, el orientador de nuestro instituto:
El pasado 17 de noviembre el cantante Juan Manuel Montilla “El Langui” impartió en el Aula Magna de la Universidad de La Rioja la conferencia “A mí no me digas que no se puede”.
Dado el contenido de la misma y los argumentos motivacionales y de superación que el artista desarrolla en sus ponencias, hemos pensado que podría ser interesante que la pudierais compartir con vuestros alumnos a través del enlace a nuestro canal de Youtube que os adjunto.
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