Duques y Duquesas: Sumemos infinitos números

Ya hemos comentado alguna vez que el infinito es un concepto que trajo (y sigue trayendo) de cabeza a los matemáticos. Vamos a darle una vuelta de tuerca a lo que sabemos. ¡Concentraos!

Vosotros sabéis sumar números enteros (2+3=5), decimales (2'23+3'9=6'13), y muy pronto hasta los de 1º sabréis sumar fracciones:

¡Uy, perdón, vuestro profesor es un cutre! (Lo elegante es usar el mínimo común múltiplo).

¿Creéis que ya sabéis sumarlo todo? Queridos míos, si algo bueno tienen las matemáticas es que NUNCA JAMÁS, NADIE lo sabrá TODO.

Os voy a hacer una pregunta, ¿podemos sumar infinitos números? No, por favor, no me pongáis esa cara:

¿Cuántos números dices que hay que sumar?

Es posible que ahora estéis pensando, "¿sumar infinitos números? ¿eso dará infinito, no?". Veamos un ejemplo:

Pues hombre, aunque nos siga pareciendo un poco raro eso de sumar infinitos números, algo dentro de nuestra cabecita nos dice que si nos ponemos a sumar unos "y no paramos nunca", la suma total es infinito. Vale. Otro ejemplo:

Vamos a pasarlo a decimales para situarnos:

Hummmmm, ¿qué está pasando aquí? La idea es que tenemos una "pelea" entre dos conceptos infinitos: el que la cantidad de números que queremos sumar es infinita, y que cada vez vamos a ir sumando números que se van haciendo "infinitamente más pequeños". En estas situaciones, dependiendo de "cuál de los dos infinitos gane la pelea", puede ocurrir que la suma dé infinito... ¡o dé un número!

¿No me creéis? Coged un folio. (¡Hacedlo de verdad!). Partidlo por la mitad. Dejad una mitad (1/2 de folio) a la derecha y quedaos con la otra mitad. Partid esa mitad por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/4 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/8 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/16 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/32 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. (...)

Si no parásemos "nunca", ¿qué acabaríamos teniendo en el montoncito de la derecha? ¡Un folio completo! (hecho infinitos trocitos eso sí). Es decir:

Dicen que una imagen vale más que mil palabras:

Imagen: http://en.citizendium.org/wiki/File:Geometric_series.png

Os toca:

Reto de la Suma infinita.

1) Coge una calculadora.

2) Haz la siguiente suma de 15 números.

3) Multiplica el resultado por 6.

4) Y por último, haz la raíz cuadrada del resultado del paso anterior.

En el futuro os comentaré qué sale si hacéis lo anterior, pero sin parar en el 15 sino siguiendo hasta el infinito... ¿alguna idea? ¿algún numerillo famoso de las matemáticas?