Reto de Pi (Segunda parte)

¿Cuántas cifras decimales tiene p? Aunque se intuía desde el principio, hubo que esperar al siglo XVIII para demostrar que p es un número irracional. Tiene pues infinitos decimales, no se repiten de forma periódica y, en este caso, no siguen ningún patrón: si queremos conocerlos no nos queda otra que calcularlos.

¿Sirve para algo calcular muchos decimales de p? Absolutamente para nada. A cualquier ingeniero o científico que trabaje en el mundo real le vale con saber unos pocos. (Hay una cuentecita que tenemos a tiro -no la quiero hacer ahora- para ver que con unos pocos decimales -me suena que son 39- podríamos calcular el tamaño de todo el Universo conocido con una precisión de un átomo de hidrógeno).

¿Para qué se calculan entonces? Como os dije cuando hablamos de raiz de 2, se trata de una especie de competición deportiva, al principio entre matemáticos, a la que en los últimos años se han unido informáticos con sus superordenadores. No todo es tan inútil como parece: algunas herramientas estudiadas para calcular las cifras decimales de p han tenido importantes aplicaciones prácticas.

¿Cómo se calculan los decimales de p? Como vimos en la anterior entrada del reto de Pi, la primera técnica empleada fue la de aproximar el área de la circunferencia de radio 1 con polígonos regulares tal y como había hecho Arquímedes.

En el siglo XVII se produjo en el mundo un gran desarrollo matemático (que permitió a su vez el progreso científico y económico de la época). Una de las cosas que más se estudiaron entonces fueron las sumas infinitas (¿os acordáis?): os recuerdo que son sumas de números de manera que cuantos más sumamos más nos vamos acercando a un valor (a la suma). Por ejemplo:

Pues p apareció (a veces por sorpresa) como resultado de muchas de esas sumas infinitas (ya vimos un ejemplo), como en la suma de Leibniz:

¿Cómo podemos aprovechar la anterior suma infinita para conseguir cifras decimales de p? Muy sencillo: cuantos más números sumemos más nos acercaremos a su verdadero valor.

y ya todo es cuestión de tener mucha paciencia... y mucho tiempo libre, porque haría falta sumar no cinco, sino cinco millones de números de la suma de Leibniz para conseguir seis cifras decimales exactas (3'141592) de p.

Reto II de p: : Utiliza la siguiente suma infinita:

para conseguir cinco aproximaciones de p (empieza sólo con el 3 y ve sumando un término más cada vez como acabamos de hacer arriba) y compara los resultados obtenidos con los proporcionados por la suma de Leibniz. (¡Naturalmente podéis utilizar la calculadora!). ¿Cuál es la conclusión de la comparación?