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| Corpus hypercubus, de Salvador Dalí |
Mido 1'94 y, cuando muera (¡lo que tengo que hacer para captar vuestra atención!), me gustaría que mi ataúd tuviese forma hipercúbica de 1 centímetro de arista. ¿En qué dimensión empieza a ser eso posible?
Primero vamos a responder a tres preguntas (los de 2º ya las sabéis; los de 1º las entenderéis dentro de poco, cuando veamos el Teorema de Pitágoras):
1) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar encima de un segmento de 1 centímetro?
La respuesta es fácil, como mucho, encima de ése, podré pintar otro segmento que mida 1 centímetro.
2) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar en un papelito cuadrado de 1 centímetro de lado?
Claramente el segmento más largo que podemos pintar es la diagonal del cuadrado. Llamamos a Pitágoras:
Es decir, como mucho podemos pintar un segmento de longitud raíz de 2 = 1'4142... centímetros.
3) ¿Cuánto mide la varilla más larga que puedo meter dentro de un cubo de 1 centímetro de arista?
Es muy parecido al caso anterior: lo más largo de un cubo es su diagonal, y podemos calcular su longitud aplicando Pitágoras (notad que las diagonales de las caras, que son cuadrados, miden raíz de 2):
Es decir, la varilla más larga que cabe mide raíz de 3 = 1'732...
Conclusiones:
- en un segmento de 1 cm (dejadme rebautizarlo: "hipercubo de dimensión 1" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" puede medir
1 cm,
- en un cuadrado de 1 cm de lado ("hipercubo de dimensión 2" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 2 =
1'4142... cm,
- en un cubo de 1 cm de arista ("hipercubo de dimensión 3" con arista 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 3 =
1'732... cm.
Efectivamente, esto sigue, y aunque hacer dibujos es (casi) imposible, las cuentas salen igual de fáciles:
- en un hipercubo de dimensión 4 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 4 =
2 cm,
- en un hipercubo de dimensión 5 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 5 =
2'236... cm,
- en general, en un hipercubo de dimensión
n con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir
raíz de n cm.
Responded ahora:
¿de qué dimensión tenéis que construir un "hiperataúd" de 1 cm de arista para que quepa un profesor de matemáticas de 194 cm?
Nota final: he dicho antes que los dibujos son
casi imposibles. De igual manera que en las fotos o en los cuadros representamos en 2 dimensiones (utilizando la perspectiva) la realidad de 3 dimensiones (fijaos también en cómo dibujamos un cubo), en 3 dimensiones pueden hacerse representaciones del hipercubo de 4 dimensiones. Son ejemplos el cuadro de Dalí del principio o algunos monumentos (haced clic en las imágenes para saber algo más de ellos):
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| Monumento de la Constitución, en Madrid |
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| Arco de la Defensa, en París |
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| "Dibujo" de un hipercubo 4D |
