¡Feliz Navidad!

Naturalmente, voy a aprovechar para contaros una historia.

Los seres humanos se fijaron en tres fenómenos cíclicos (que se repiten) a la hora de intentar medir el tiempo: la salida y puesta del Sol (día), las fases de la luna, cuyo ciclo dura unos 29 días y medio (que parece una buena definición de mes), y la posición de la Tierra respecto al Sol (unos 365 días, cuyo ciclo es un inmejorable candidato para ser un año). Pero había un problema: los meses lunares y el año solar no cuadran bien. O nos quedamos cortos o nos pasamos:

• 29'5 x 12 meses = 354 días

• 29'5 x 13 meses = 383'5 días

Hubo muchos intentos de ajuste ya que era un asunto muy importante: ¿os imagináis que cada año los meses se fuesen moviendo y que, si en 2018 enero fuera invierno, dentro de unos años cayese en pleno verano? Si para nosotros sería un lío, ¿que sería para los agricultores?

¿Por qué la Semana Santa es un lío?

La solución fue olvidarse de la luna (por eso los meses no tienen todos el mismo número de días) e intentar ajustarse al Sol. Por entonces se sabía que a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'25 días. La solución parecía fácil: fue el emperador Julio César el que implantó el año de 365 días con uno de 366 cada cuatro. Es lo que se conoce como Calendario Juliano.

Pero lo de 365'25 era sólo una aproximación: en realidad a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'242189 días y claro, el error se fue acumulando, de forma que alguien se puso a hacer cálculos y se dieron cuenta de que cada 1000 años se producía un desfase de casi 8 días. Efectivamente:

• Cada año se acumulaba un desfase de 365'25 - 365'242189 = 0'007811 días.

• 0'007811 días x 1000 años = 7'811 días en total.

Para corregir ese error y para evitar que se produjera en el futuro, el papa Gregorio XIII instauró el Calendario Gregoriano que usamos en la actualidad: la regla es que son bisiestos los años cuyas dos últimas cifras son divisibles por 4, exceptuando los múltiplos de 100 (1700, 1800, 1900..., que no serán bisiestos), de los que se exceptúan a su vez aquellos que también sean divisibles por 400 (1600, 2000, 2400..., que sí serán bisiestos).

¿Problema resuelto? No, porque sigue habiendo un desajuste y, para corregirlo, cada 3000 años hay que hacer "normal", de 365 días, a un año al que le toque ser bisiesto.

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¿Sabéis por qué os he contado toda esta historia? Para poder haceros una pregunta: ¿quién nació en el día de Navidad de 1642 según el calendario Juliano que era el que utilizaban en Inglaterra en aquella época? Sí, un hombre que es Dios, el Dios de la Ciencia:

Isaac Newton

¡FELIZ NAVIDAD Y PRÓSPERO 2018!

Y os será más próspero cuantos más problemas, unos, y polinomios, otros, me resolváis.

La tecla Ran# de la calculadora

Muchas gracias por vuestro esfuerzo chicos:

Y ahora vamos a empaparnos con un poco de probabilidad (al final del curso nos tocará nadar en ella) pensando en cómo hacer el sorteo de las tres calculadoras.

Decimos que estamos ante una situación aleatoria cuando:

1) No sabemos exactamente lo que va a pasar.

2) Sí conocemos cuáles son las opciones.

3) Podemos medir cuántas son las posibilidades de cada una de las opciones (es lo que se conoce como probabilidad).

¿Un ejemplo? Vamos a imaginar que nos disponemos a sortear una única calculadora (explicarlo para tres es un poquito más difícil):

1) No sabemos exactamente quién se la va a llevar.

2) Sabemos que la ganará Nerea, Fernando, Julia, Leire, Yoel o Natalia.

3) Nerea tiene 102 puntos, Fernando 50, Julia 12, Leire y Yoel 10, y Natalia 1 (la suma total es 185). Entonces las probabilidades de ganar de cada uno son (redondeo con dos decimales):

Probabilidad(gane Nerea)= 102/185 = 0'55 (Nerea tiene aproximadamente un 55% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Fernando)= 50/185 = 0'27 (Fernando tiene aproximadamente un 27% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Julia)= 12/185 = 0'06 (Julia tiene aproximadamente un 6% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Leire)= Probabilidad(gane Yoel)= 10/185 = 0'05 (Leire y Yoel tienen aproximadamente un 5% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Natalia)= 1/185 = 0'005 (Natalia tiene aproximadamente un 0'5% de posibilidades de ganar).

(Fijaos que, redondeos aparte, las probabilidades de todos suman 1 o, lo que es lo mismo, que los porcentajes suman el 100%).

En realidad, como vamos a sortear tres calculadoras (y sólo se puede ganar una), la cosa es muchísimo más difícil de explicar... pero pensar en cómo hacer el sorteo no lo es tanto:

OPCIÓN 1. Meter 185 papelitos en una bolsa con un nombre escrito, 102 Nerea, 50 Fernando, 12 Julia, 10 Leire, 10 Yoel y 1 Natalia. Una mano inocente va sacando papelitos hasta que hay tres ganadores (si alguno sale más de una vez, no cuenta).

OPCIÓN 2. Hacer algo parecido aprovechando la tecla Ran# de la calculadora, que nos da, aleatoriamente, cada vez que la pulsamos, un número decimal de tres cifras entre el 0'000 y el 0'999 (ambos incluidos). Una posibilidad cómoda y sencilla de entender es asignar cinco números por cada punto acumulado:

- Nerea: 102 puntos x 5 = le corresponden 510 números, por ejemplo, del 0'001 al 0'510.

- Fernando: 50 puntos x 5 = le corresponden 250 números, del 0'511 al 0'760.

- Julia: 12 puntos x 5 = le corresponden 60 números, del 0'761 al 0'820.

- Leire: 10 puntos x 5 = le corresponden 50 números, del 0'821 al 0'870.

- Yoel: 10 puntos x 5 = le corresponden 50 números, del 0'871 al 0'920.

- Natalia: 1 punto x 5 = le corresponden 5 números, del 0'921 al 0'925.

Si sale cualquier otro número (0'000 o uno mayor que 0'925) la "tirada"no cuenta, lo mismo que si sale algún número correspondiente a una persona que ya haya ganado una de las calculadoras en las tiradas anteriores.

Una última cosa: ¿qué tiene la calculadora dentro, enanitos lanzando dados? ¿Cómo hace para conseguir un número aleatorio? Es un asunto delicado del que sólo os voy a decir una cosa: ¿sabéis qué parte de las matemáticas es la que se utiliza para conseguir números aleatorios? No, no es ni la estadística ni la probabilidad... ¡es el álgebra!

Aquí tenéis un artículo en el que hablan de esto

Soluciones a los retos

Mañana os explicaré cómo vamos a hacer el sorteo (el viernes en el recreo: la lotería no os tocará pero al menos tres de vosotros os llevaréis una calculadora), aunque lo primero es lo primero: las soluciones.

• Reto de la Conjetura de Golbach: descomponer los números pares entre 16 y 30 como suma de dos números primos.

16 = 3+13 = 5+11
18 = 5+13 = 7+11
20 = 3+17 = 7+13
22 = 3+19 = 5+17 = 11+11
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
26 = 3+23 = 7+19 = 13+13
28 = 5+23 = 11+17
30 = 7+23 = 11+19 = 13+17

• Reto del examen de divisibilidad: se trataba de dibujar grafos que recogiesen las relaciones (de divisibilidad) entre un número y sus divisores, en concreto, de 24 y 30.

¿A que son bonitos?

• Reto de Gauss: nos piden que sumemos:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 127 + 128 + 129 +130

y como ya le hemos pillado la idea al truquito, lo hacemos directamente: es la mitad de sumar 130 veces 131, es decir:

Vamos a atrevernos con una fórmula general:

• Reto de los unos I: el número formado por 9921479987437581 unos:

 111111111111...111111111111

¿es divisible por 3?

Vamos a aplicar encadenadamente el criterio de divisibilidad de 3:

111111111111...111111111111 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es precisamente 9921479987437581 (si sumo 2 unos da 2, si sumo 3 unos da 3, si sumo 4 unos da 4... si sumo 9921479987437581 unos da 9921479987437581).

9921479987437581 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es: 9+9+2+1+4+7+9+9+8+7+4+3+7+5+8+1=93 (y no voy a parar).

93 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es: 9+3=12 (¡he dicho que no voy a parar!).

12 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es 1+2=3 (¡sí que paro!) que es divisible por 3.

Conclusión: todos los números que nos han ido apareciendo (y, en particular, el primero de todos), son divisibles por 3.

• Reto de los unos II: Suponiendo que, manteniendo pulsada la tecla del ordenador y con un tamaño de letra normalito, en un folio por las dos caras caben unos 10000 unos, y cuesta escribirlos unos 5 minutos, ¿cuánto tiempo nos costaría escribir todo ese montón de unos (9921479987437581 unos).

Si no me he colado:

- 9921479987437581 es aproximadamente 10¹⁶

- para escribir todos esos unos necesitamos 10¹⁶ : 10000 = 10¹² folios (¡sí, un billón!)

- en total nos costará escribirlos 5 x 10¹² minutos

- un año tiene 60 x 24 x 365 = 525600 minutos (redondeando: 500000 minutos)

- es decir, tardaremos en escribir los unos un total de 5 x 10¹² : 500000 = 10⁷ años

Sí, eso son unos 10 millones de años.

• Reto del equipo de fútbol. Os recuerdo cuál era el reto: empezando nosotros, eligiendo por turnos, siempre un jugador en uno de los dos extremos (derecho o izquierdo; el elegido se aparta), tenemos que intentar seleccionar a cuatro jugadores mejores (que marquen más goles) que los del equipo rival. Bien, pues os propongo que lo intentéis en dos situaciones (recordad que el número de la camiseta indica los goles que ha marcado cada jugador). Elegís los primeros, ¿cómo ganáis seguro?
  
  SITUACIÓN 1
  
  
  
  
  SITUACIÓN 2
  
  
  
  ¿Os ha dado esta pista la inspiración necesaria para encontrar la solución? ¿Ya veis qué tenéis que hacer para ganar siempre?
  
  Tanto si os dais por vencidos como si habéis triunfado y queréis ver este mismo reto contado con más gracia, haced clic en el siguiente enlace:
  
  
  Solución

• Reto extra: aquel año el entrenador (Miguel, alias Menotti), nos dejaba turnarnos para llevar el brazalete de capitán. Me tocó dos veces y simplemente tuve la suerte de que una de ellas fue el día que nos sacamos la foto. Un amigo me dijo , "vas a pasar a la posteridad como el capitán". ¡Efectivamente! Venga, va otro extra:

¿Se nota, Julia?

1º de ESO: examen de cuentecillas

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.

Me interesa especialmente el ejercicio 3 ya que vamos a seguir haciendo muchas operaciones combinadas a lo largo del curso (en vez de números decimales habrá fracciones y polinomios) y las habilidades que adquiráis ahora nos servirán entonces.

No os llevéis mal rato: era un examen fácil en su conjunto pero en el que también era fácil cometer errores.

Por cierto Pablo, no te ha salido mal... pero...

¡Vete rompiendo la hucha!

El reto final

Aquí viene el último reto para el Concurso de la calculadora. Bueno, el penúltimo, que al final de esta entrada hay un "extra".

Os pongo en antecedentes:

La Teoría de juegos es una rama de las matemáticas que bajo su nombre recreativo tiene gran importancia en el mundo real, en economía, biología, psicología, informática, etc. Por ejemplo, el famoso matemático John Nash (el de la película Una mente maravillosa) ganó el Premio Nobel de economía por sus investigaciones en Teoría de juegos.

Uno de los problemas básicos de la Teoría de juegos es determinar si para un juego hay o no una estrategia ganadora, es decir, una manera de que uno de los jugadores gane siempre. Un par de ejemplos famosos son (no fue fácil demostrarlo):

- en el juego del conecta cuatro, si el jugador que empieza hace las mejores jugadas, gana seguro.

- en el juego de las damas, si los dos jugadores hacen las mejores jugadas, empatan seguro.

Reto del equipo de fútbol. (20 puntos)

Imagina que estás con nueve amigos más y vais a jugar un partido de fútbol cinco contra cinco. Otro amigo y tú sois los capitanes y os disponéis a hacer los equipos eligiendo, cada uno de vosotros dos, a cuatro jugadores más para vuestros respectivos equipos. Supongamos que los ponemos en fila como en la imagen:

Las normas para elegir a los jugadores son las siguientes:

- vais a elegir por turno, seleccionando a un jugador cada vez,

- tú eliges primero,

- cada jugador se apartará de la fila al ser elegido,

- en cada turno, el que elige (tú o el otro capitán), sólo puede seleccionar a uno de los dos jugadores que estén en los extremos de la fila. Por ejemplo, la primera vez tú has de decidirte obligatoriamente entre dos jugadores, el 8 y el 1. Supongamos que eliges al 8 (que se apartará de la fila); entonces al otro capitán le tocará elegir entre el jugador 7 y el jugador 1. Y así sucesivamente hasta el final.

Además, y aquí viene lo importante, los dos capitanes conocéis perfectamente cómo juegan al fútbol vuestros ocho amigos: vamos a suponer que llevan escritos en la camiseta los goles que han marcado en los partidos de otros días y que eso mide lo buenos que son:

Naturalmente, tú quieres elegir un equipo que sea mejor (que marque más goles), que el equipo rival que va a elegir el otro capitán.

Vamos a hacer una simulación. Supongamos que las elecciones son:

- tú eliges al jugador 1,
- el otro capitán elige al jugador 2,
- tú eliges al jugador 8,
- el otro capitán elige al jugador 7,
- tú eliges al jugador 6,
- el otro capitán elige al jugador 5,
- tú eliges al jugador 4,
- el otro capitán elige al jugador 3.

Como resultado final los jugadores de tu equipo (12+9+13+14=48 goles en total) son peores que los del rival (18+11+12+9=50 goles).

El reto es: encontrar (la hay) la estrategia que te permite seleccionar seguro a un equipo mejor que el rival.


Aclaraciones:

- Podéis jugar e inspiraros con el ejemplo de la imagen de arriba, pero no estoy pidiendo que deis una solución para esos ocho en concreto, sino una "receta", una regla para elegir siempre, sean los que sean los ocho jugadores, a un equipo mejor que el rival. Es decir, la regla que deis debería servir también para:

y para cualesquiera otros ocho jugadores.

- La solución es una regla, una simple frase que en versión corta se puede escribir en menos de 150 caracteres.

- En realidad hay casos en el que no se puede elegir un equipo mejor que el rival. Por ejemplo, si los ocho jugadores marcasen todos el mismo número de goles,

en ese caso los dos equipos resultantes serían iguales (20 goles cada uno). Vamos a suponer entonces que en realidad el problema es conseguir un equipo mejor o, en algunos casos en que eso no puede ser, que por lo menos sea igual que el rival.

A ver qué tal se os da. Como casi siempre en matemáticas, la solución es muy fácil de entender cuando a uno se la cuentan... lo difícil es encontrarla.


Reto extra. (1 punto)

La siguiente foto fue hecha en el antiguo estadio de "Las Gaunas" hace muuuuuucho tiempo (sus protagonistas tenían casi todos 13 años).

El reto consiste en que tenéis que acertar quién es el más guapo, listo, simpático, gracioso, ocurrente, bueno, noble, valiente... de esa foto, y claro, por eso era nada más y nada menos que el capitán.

Más leña al fuego

Vamos con un reto doble en nuestro Concurso por la calculadora. Recordad que para todos ellos la fecha límite es el 18 de diciembre. A la derecha tenéis la clasificación de puntos acumulados para el sorteo. Os recuerdo los tres planteados hasta ahora:

- Reto de la Conjetura de Golbach. (multiplica por 2 la puntuación final).

- Reto del examen de divisibilidad (al final de la solución de este examen). (10 puntos) Entregádmelo en papel.

- Reto de Gauss. (10 puntos)

Los dos nuevos:

Reto de los unos I. (5 puntos)

- Pensemos en el número formado por 3 unos: 111
- Pensemos en el número formado por 5 unos: 11111
- Pensemos en el número formado por 9921479987437581 unos: 111...111

¿Es el último de ellos divisible por 3? (Naturalmente, hay que justificar la respuesta).

Reto de los unos II. (5 puntos)

Suponiendo que, manteniendo pulsada la tecla del ordenador y con un tamaño de letra normalito, en un folio por las dos caras caben unos 10000 unos, y cuesta escribirlos unos 5 minutos (no creo que "a mano" podamos ir más rápido que eso), ¿cuánto tiempo nos costaría escribir todo ese montón de unos (9921479987437581 unos)?

Nota: calculad un valor aproximado. Para ello id redondeando (¡no truncando!) los números que os vayan apareciendo. Por ejemplo:

9921479987437581 es aproximadamente 10¹⁶

¡Que se os dé bien!