Soluciones a los retos

Mañana os explicaré cómo vamos a hacer el sorteo (el viernes en el recreo: la lotería no os tocará pero al menos tres de vosotros os llevaréis una calculadora), aunque lo primero es lo primero: las soluciones.

• Reto de la Conjetura de Golbach: descomponer los números pares entre 16 y 30 como suma de dos números primos.

16 = 3+13 = 5+11
18 = 5+13 = 7+11
20 = 3+17 = 7+13
22 = 3+19 = 5+17 = 11+11
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
26 = 3+23 = 7+19 = 13+13
28 = 5+23 = 11+17
30 = 7+23 = 11+19 = 13+17

• Reto del examen de divisibilidad: se trataba de dibujar grafos que recogiesen las relaciones (de divisibilidad) entre un número y sus divisores, en concreto, de 24 y 30.

¿A que son bonitos?

• Reto de Gauss: nos piden que sumemos:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 127 + 128 + 129 +130

y como ya le hemos pillado la idea al truquito, lo hacemos directamente: es la mitad de sumar 130 veces 131, es decir:

Vamos a atrevernos con una fórmula general:

• Reto de los unos I: el número formado por 9921479987437581 unos:

 111111111111...111111111111

¿es divisible por 3?

Vamos a aplicar encadenadamente el criterio de divisibilidad de 3:

111111111111...111111111111 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es precisamente 9921479987437581 (si sumo 2 unos da 2, si sumo 3 unos da 3, si sumo 4 unos da 4... si sumo 9921479987437581 unos da 9921479987437581).

9921479987437581 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es: 9+9+2+1+4+7+9+9+8+7+4+3+7+5+8+1=93 (y no voy a parar).

93 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es: 9+3=12 (¡he dicho que no voy a parar!).

12 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es 1+2=3 (¡sí que paro!) que es divisible por 3.

Conclusión: todos los números que nos han ido apareciendo (y, en particular, el primero de todos), son divisibles por 3.

• Reto de los unos II: Suponiendo que, manteniendo pulsada la tecla del ordenador y con un tamaño de letra normalito, en un folio por las dos caras caben unos 10000 unos, y cuesta escribirlos unos 5 minutos, ¿cuánto tiempo nos costaría escribir todo ese montón de unos (9921479987437581 unos).

Si no me he colado:

- 9921479987437581 es aproximadamente 10¹⁶

- para escribir todos esos unos necesitamos 10¹⁶ : 10000 = 10¹² folios (¡sí, un billón!)

- en total nos costará escribirlos 5 x 10¹² minutos

- un año tiene 60 x 24 x 365 = 525600 minutos (redondeando: 500000 minutos)

- es decir, tardaremos en escribir los unos un total de 5 x 10¹² : 500000 = 10⁷ años

Sí, eso son unos 10 millones de años.

• Reto del equipo de fútbol. Os recuerdo cuál era el reto: empezando nosotros, eligiendo por turnos, siempre un jugador en uno de los dos extremos (derecho o izquierdo; el elegido se aparta), tenemos que intentar seleccionar a cuatro jugadores mejores (que marquen más goles) que los del equipo rival. Bien, pues os propongo que lo intentéis en dos situaciones (recordad que el número de la camiseta indica los goles que ha marcado cada jugador). Elegís los primeros, ¿cómo ganáis seguro?
  
  SITUACIÓN 1
  
  
  
  
  SITUACIÓN 2
  
  
  
  ¿Os ha dado esta pista la inspiración necesaria para encontrar la solución? ¿Ya veis qué tenéis que hacer para ganar siempre?
  
  Tanto si os dais por vencidos como si habéis triunfado y queréis ver este mismo reto contado con más gracia, haced clic en el siguiente enlace:
  
  
  Solución

• Reto extra: aquel año el entrenador (Miguel, alias Menotti), nos dejaba turnarnos para llevar el brazalete de capitán. Me tocó dos veces y simplemente tuve la suerte de que una de ellas fue el día que nos sacamos la foto. Un amigo me dijo , "vas a pasar a la posteridad como el capitán". ¡Efectivamente! Venga, va otro extra:

¿Se nota, Julia?