Y cero elevado a cero es...

El cero es un "rebelde" en la historia de las matemáticas (de hecho, costó varios siglos que fuese reconocido como un número "normal"). Es más, nosotros hemos dicho en clase que los números naturales son 0, 1, 2, 3, 4, 5..., pero también es habitual decir que los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5... y que el 0 va aparte; si os fijáis, es lo que hacen en el dibujo con los distintos conjuntos de números que, seguro, muchos ya tendréis decorando la pared de vuestra habitación.

Esa rebeldía se nota, por ejemplo, en algo que ya conocéis:

• Si os pido que repartáis 60 euros entre 2 personas, la respuesta es 60:2=30 euros cada uno.
• Si os pido que repartáis 60 euros entre 3 personas, la respuesta es 60:3=20 euros cada uno.
• Si os pido que repartáis 60 euros entre 4 personas, la respuesta es 60:4=15 euros cada uno.

Bien, la idea es que la división puede verse como un reparto. Entonces:

• Si os pido que repartáis 60 euros entre 0 personas, me diríais... "¿Tú estás tonto o qué? ¿Cómo vamos a repartir algo si no tenemos a nadie a quien repartirlo?". Esa es la idea que hay detrás del hecho de que: no se puede dividir por cero, es una operación matemática que no tiene ningún sentido.

Respondamos al reto. No era fácil para vosotros y la respuesta tampoco lo es, en realidad no tanto por su nivel matemático como por el razonamiento lógico que hay detrás. Voy a intentar explicároslo.

No os estaba preguntando que me dijeseis cuánto vale cero elevado a cero, sino que razonaseis por qué la demostración que habíamos visto para 13 es válida para cualquier otro número salvo para 0. La clave a eso está en el Paso 2. Vamos a verlo con detalle. Supongamos que queremos demostrar el siguiente teorema:

y tenemos a nuestra disposición dos resultados previos:

A ver hasta dónde llegamos:

Sí, no podemos seguir porque si os fijáis, 0²  es 0, y entonces estamos dividiendo por 0, y como me habéis dicho antes (hasta me habéis llamado tonto) eso es algo que en matemáticas no puede hacerse.

Y si me interesa que lo hayáis entendido, más me interesa lo que viene ahora: 

Lo que acabamos de ver es que la demostración que habíamos hecho con 13 no sirve si la intentamos hacer con 0. Pero eso no significa que 0⁰ no valga uno, significa que no sabemos lo que vale y que, valga 1 u otra cosa, lo que tenemos que hacer es probarlo con otra demostración.

¿Y existe esa demostración? En realidad no. La verdad es que en matemáticas se suele considerar que cero elevado a cero no tiene sentido... pero no todos opinan lo mismo ya que hay dos argumentos a favor de decir que:

0⁰ =1 

¿Cuáles son esos argumentos?

1) En Teoría de conjuntos (una parte muy abstracta y complicada de las matemáticas), hay algo "parecido" al cero, y se cumple (ahí sí) que cero elevado a cero es uno.

2) Podemos jugar con la calculadora y, en vez de elevar cero a cero (que nos da Math ERROR), probar con números cada vez más cercanos a cero, y ver qué pasa con el resultado:

Inciso. Para calcular una potencia con una calculadora (científica, que no sea muy vieja) se utiliza la tecla ^. Por ejemplo:

Para calcular 2² escribiríamos 2^2 y, naturalmente, el resultado sería 4.

Para calcular 2⁴ escribiríamos 2^4 que nos daría 16.

Para calcular 2⁰ teclearíamos 2^0 obteniendo 1.

Para 0⁰ al escribir 0^0 nos aparecería Math ERROR.

Fin Inciso.

Lo dicho, probando con números cada vez más cercanos a cero:

Es decir, cuanto más nos acercamos a 0, más se acerca el resultado a 1.

Nota. Para los muy observadores, lo que significan los exponentes 0'1, 0'01, 0'001... os lo explicarán en 3º. Simplemente son raíces (por ejemplo, un exponente 0'5 es otra forma de escribir la raíz cuadrada).

Irene, Julia, Diego y Leire, mañana martes haremos el sorteo (recreo, aula 2):

Los números irracionales (2ª parte, y última)

Vamos a viajar al siglo V a.C., a la antigua Grecia. En ella existía un grupo de matemáticos/filósofos (entonces venían a ser lo mismo) que eran conocidos como los pitagóricos (no hace falta explicar de quién eran seguidores). Su principal creencia era que todo el Universo podía ser explicado con números y que todos los números podían formarse dividiendo el 1 en partes iguales (ellos decían que todos los números eran conmensurables porque podían compararse con el 1). Esencialmente la idea es el juego de palitos que vimos el otro día. Por cierto, la mayoría de vosotros pensáis lo mismo:

(Inciso: Irene, Julia, Diego y Leire, participáis es el sorteo de un libro. Recordad que, hasta el domingo, podéis multiplicar por cinco vuestras opciones en el "reto del cero elevado a cero").

Traducido a nuestras matemáticas actuales, como los de segundo ya sabéis y los de primero pronto decubriréis, responder que sí en la encuesta, equivale a pensar que cualquier número se puede poner en forma de fracción. En algunos casos eso es cierto:

Pero, ¿es cierto para cualquier número? ¿cualquier número decimal puede ponerse en forma de fracción?


Los griegos pensaban que sí, hasta que uno de ellos, Hipaso de Metaponto, aplicó el Teorema de Pitágoras a un triángulo como el de la derecha y se preguntó, ¿cuál será la fracción que vale raíz cuadrada de 2?

Como Hipaso manejaba perfectamente el Teorema Fundamental de la Aritmética (¡sí, el de los números primos haciendo de ladrillos!), no le costó mucho deducir, para su sorpresa, que no había ninguna fracción cuyo valor fuese raíz de 2. No es difícil y os lo podría intentar explicar, pero os saldría demasiado humo por las orejas, así que lo dejo en las manos de vuestro futuro profesor de 3º o 4º de ESO (para los curiosos: es la primera de las dos demostraciones a las que lleva el siguiente enlace):

Raíz de 2 es irracional

Este descubrimiento provocó un verdadero sunami en la escuela pitagórica. Cuenta la leyenda que sus compañeros lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe, aunque en realidad parece ser que lo que hicieron fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.

En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales (¡el nombre lo dice todo!) y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso.

Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:

¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.

¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con ordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Aquí va un enlace a una página web en la que podéis ver el primer millón de cifras de raíz de 2 (para la calculadora: 1'414213562...)

Cifras decimales de raíz de 2

¿Sirve para algo calcular tantas cifras decimales? Para nada. En cualquier situación real  en la que se necesite hacer cálculos con raíz de 2 (construir una casa, lanzar un satélite, fabricar un coche...), con conocer unas pocas cifras decimales sobra.

¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" entre matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.

Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.

Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:

0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?

0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?

Otra, otra: ¿cuántos números racionales hay? ¿e irracionales? Hay infinitos de los dos tipos... pero... y quien quiera entender esto tendrá que ir a la Universidad a estudiar matemáticas... ¡¡hay más números irracionales que racionales!!

¡La última de verdad! Y aparte de los racionales y los irracionales, ¿hay más números?

Haylos (¿a que quedaría bonito como póster en vuestra habitación?):

1º de ESO: examen de potencias y raíces

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.

Una demostración "profesional"

El trabajo de los matemáticos consiste en resolver problemas, más o menos como vosotros hacéis en clase, ¡igualito!

Una demostración matemática suele contener los siguientes elementos:

- Lemas: donde se recuerdan algunos resultados conocidos que se van a utilizar en la demostración.

- Teorema: que es el resultado importante que se va a demostrar, el problema que se va a resolver. Primero se escribe el enunciado y a continuación la demostración.

Vamos a ver un ejemplito: demostremos en "plan profesional" que 13 elevado a cero da uno.

Primero los lemas:

Vamos con el enunciado del problema que queremos resolver:

Y ahora, lo más interesante: la demostración, ¡que empiece la fiesta!

Porque no hay demostración que se precie que no termine con un C.q.d. (que son las iniciales de Como queríamos demostrar) y con #.

RETO. En realidad el 13 no pinta nada. Lo he cogido porque es mi número preferido, pero el resultado anterior vale para cualquier otro número, es decir, el teorema sería: cualquier número elevado a cero da uno. Bueno, eso no es del todo correcto: ¿por qué no sirve la demostración anterior si en vez de un 13 tenemos un 0?

Es complicado para vosotros porque tiene un alto nivel de abstracción. A ver si alguno sois capaz. No os estoy pidiendo que me digáis cuánto es 0 elevado a 0, sino por qué la demostración que hemos hemos hecho para 13 no sirve para 0 (hay un paso que puede hacerse con 13, pero si lo cambiamos por un 0, la "cosa" se atasca).

Los que respondáis antes del próximo domingo, multiplicáis por 5 vuestras posibilidades en el sorteo del libro del reto anterior (el de la encuesta). Cuando os dé la solución os digo cuánto es 0 elevado a 0.

Los números irracionales (1ª parte)

Cuenta la leyenda que una persona murió (¿asesinada?) por estropearles a los griegos el siguiente juego. Os cuento las reglas y hacemos una encuesta.

Supongamos que tenemos un palito de longitud 1 (da igual la unidad, metro si queréis). Con ese palito podemos hacer dos cosas:

1) Podemos partirlo en trozos, con la única condición de que sean todos iguales.

2) Podemos coger algunos trozos de los anteriores (cuantos queramos: ninguno, unos pocos, muchos, o todos) y volverlos a pegar.

Ahora nos preguntan si, cogiendo un palito y siguiendo esas dos reglas, podemos formar palitos que midan exactamente la longitud que nos digan entre 0 y 1. Vamos a hacer algunos ejemplos:

¿Podemos formar un palito que mida 0’3? Pues sí:

¿Podemos formar un palito que mida 0’13? Sí, con una idea parecida:

Si habéis pillado la idea deberíais contestar fácilmente a:

Pregunta 1: ¿Podemos formar un palito que mida 0’423? (Y en realidad, cualquier longitud con tres cifras decimales).

Pregunta 2: ¿Podemos formar un palito que mida 0’9677? (Y en realidad, cualquier longitud con cuatro cifras decimales).

¡Nota importante! En Matemáticas contestar no es decir Sí o No, es, aparte de eso, justificar la respuesta. En este caso, si es que sí, ¿cómo conseguís un palito con cada longitud que nos piden?

Pero también podemos formar longitudes con infinitas cifras decimales, por ejemplo, ¿podemos formar un palito de longitud 0'6666666666666...? Fácilmente, si recordamos que ese número escrito en forma de fracción es dos tercios (¡podéis usar la calculadora!):

Aquí llega la encuesta:

Haz clic para votar en la encuesta

Entre los que contestéis a las dos preguntas de más arriba (en los comentarios del blog) y participéis en la encuesta (para identificaros os va a pedir una dirección de correo electrónico), sortearemos un libro. El plazo termina el próximo viernes 27 de octubre.

Recordatorio: ¿cómo enviar un comentario?

Tócala otra vez Sam

Así es como ha pasado a la historia una de las frases más famosas del cine, aunque no es exactamente eso lo que Ilsa dice:

Tócala otra vez Sam

Como Julia e Irene han razonado,

164009=401x409

La pista de probar cerca de la raíz cuadrada ayuda mucho porque, como los de 2º ya sabéis y los de 1º pronto conoceréis, para comprobar si un número es primo, hay que ver si es divisible por los números primos hasta la raíz entera de dicho número, lo que, en este caso, nos habría obligado a ir probando con todos los números primos menores a raíz(164009)=404'..., y si buscamos en la Wikipedia:

Es decir, tendríamos que haber ido probando con los números de esa lista, desde el 2 hasta el 401 (un pelín pesado).

Entonces, las cifras de los dos primos suman: 4+0+1+4+0+9=18, y yo voy a usar un programita que me he hecho con Excel:

Enlace para descargar el programita

Nota: Tenéis que descargarlo en vuestro ordenador (hay un botón arriba a la derecha para eso). No funciona online.

¡Enhorabuena a las dos ganadoras!

Criptografía

La criptografía consiste en codificar un mensaje de forma que, aunque llegue a manos indebidas, éste no pueda ser descifrado. Teniendo en cuenta la gran cantidad de información que intercambiamos hoy en día, sobre todo a través de Internet, es un tema muy importante, y un campo en el que trabajan muchos de los mejores matemáticos del mundo.

Pero este asunto ha interesado al ser humano desde hace mucho tiempo. Julio César codificaba los mensajes de sus ejércitos con, se llama así por eso, el cifrado de César, que consiste en trasladar el alfabeto un número de lugares a la derecha. Veamos un ejemplo para entenderlo: la siguiente tabla muestra el alfabeto trasladado 2 lugares hacia la derecha:

y así, si queremos enviarle a alguien el mensaje "secreto" (no ponemos espacios en blanco)

HOLACOMOESTAS

escribiríamos

FNJYANKNCQRYQ

y cuando llegase al destinatario, él lo descodificaría (se supone, claro, que conoce las reglas).

La verdad es que Julio César tuvo mucha suerte de que sus enemigos no tuviesen ni idea de matemáticas (por algo se les llamaba bárbaros), porque su método es muy fácil de romper (romper es la palabra que se usa para decir que las reglas de un método han sido descubiertas y ya no es seguro utilizarlo). Por cierto, hay una película, basada en hechos reales, en la que se cuenta cómo los ingleses lograron romper Enigma, la máquina que los nazis utilizaban para codificar sus mensajes durante la II Guerra Mundial.

Vamos a ver si vosotros sabéis más matemáticas que los bárbaros que vivían al norte del Imperio Romano. Os propongo un reto (entre todos los que contestéis correctamente en los comentarios del blog -pulsa aquí para ver cómo enviar la respuesta- sortearemos dos libros sobre números primos).

Reto:

He utilizado el método de César para codificar una famosa frase de una de mis películas favoritas y ha quedado:

CXLJTJXCAJENIBJU

¿Qué es lo que está a punto de decir Ilsa?

Indicación: He trasladado el alfabeto a la derecha un número de posiciones igual a la suma de todas las cifras de los dos números primos en los que se descompone 164009.
(Pista: ¡Probad con primos cerca de la raíz cuadrada!).

Comentarios finales:

1) Un método que mejora un poco el de César consiste en reordenar el alfabeto como nos de la gana. Por ejemplo:

Este método tampoco es muy seguro, y una forma básica de intentar romperlo es estudiar cuántas veces aparece cada una de las letras en el mensaje y compararlas con las veces que aparece cada letra en el idioma en el que se cree que está escrito el original. Por ejemplo, en español se sabe que la letra que más aparece es la E, luego la A, etc, con los siguientes porcentajes aproximados (Fuente: Wikipedia):

2) Descomponer 164009 en sus factores primos os va a costar muy poco jugando con la calculadora (aprovechando la pista de la raíz cuadrada), pero hacer lo mismo a ciegas con un número grande es una tarea muy larga y pesada (hay que ir probando números hasta encontrarlos: utilizando los ordenadores actuales más potentes, la tarea podría durar siglos). Es por eso que los números primos son la base matemática de métodos seguros (¡de momento!) para codificar mensajes.

3) Cuando publique la solución del reto y los ganadores (tenéis hasta el próximo domingo 15) os colgaré un programita para codificar y descodificar mensajes.

2º de ESO: examen de números naturales y enteros

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.

Sistemas de numeración

En la imagen estáis viendo el hueso de Lebombo, un fémur de baduino que, según la hipótesis más aceptada, alguna “mujer de las cavernas” utilizó hace más de 40000 años para hacer unas marcas, veintinueve, y medir su ciclo menstrual. Es la primera prueba que se ha encontrado de la presencia de los números en la Historia de la Humanidad.

A lo largo de los milenios el ser humano fue empleando otros sistemas de numeración. Vamos a ver algunos y, en honor a la “primera matemática de la historia”, representaremos con ellos la duración del ciclo menstrual:

Sistema de numeración cavernícola: una marca por cada día:

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Sistema egipcio: como el anterior, pero con la sutileza de agrupar las potencias de diez.

¡Para los egipcios un millón venía a ser como infinito!

Así, nuestro número quedaría:

aunque la posición de los símbolos es irrelevante y también podría escribirse, entre muchas otras opciones:

Sistema romano: un sistema en el que algunas letras indican cantidad,

pero donde la posición sí que importa:

Y escribiríamos:

 XXIX 

Nota: como indican en la imagen anterior, cuando los romanos querían escribir números muy grandes, ponían líneas sobre las letras: una indica multiplicado por mil, dos por un millón... seguro que os estáis preguntando cómo escribían un billón y un trillón (en realidad los romanos no necesitaban para nada números tan grandes... e infinito ni se lo imaginaban). ¡Ejemplos por favor!

Cada línea son tres ceros adicionales.

Sistema decimal: originario de la India y traído a Europa por los árabes. Es el que utilizamos en la actualidad y que, como hemos visto en clase, se basa en la descomposición polinómica en potencias de 10... vamos, lo que viene a ser:

29 = 2.10+9

Vamos a convencernos de que hemos tenido mucha suerte al haber nacido en una época en la que se utiliza un sistema de numeración muy “cómodo”, y que los profesores y estudiantes de matemáticas del pasado lo tenían mucho más difícil que nosotros. ¿Sabríais escribir el número 19765979 utilizando los sistemas egipcio y romano? (por supuesto, es muy fácil con el sistema cavernícola... pero ese mejor lo dejamos).

1º de ESO: examen de números naturales

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.

Por cierto, os enlazo el vídeo del que hablamos en clase: