Y cero elevado a cero es...

El cero es un "rebelde" en la historia de las matemáticas (de hecho, costó varios siglos que fuese reconocido como un número "normal"). Es más, nosotros hemos dicho en clase que los números naturales son 0, 1, 2, 3, 4, 5..., pero también es habitual decir que los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5... y que el 0 va aparte; si os fijáis, es lo que hacen en el dibujo con los distintos conjuntos de números que, seguro, muchos ya tendréis decorando la pared de vuestra habitación.

Esa rebeldía se nota, por ejemplo, en algo que ya conocéis:

• Si os pido que repartáis 60 euros entre 2 personas, la respuesta es 60:2=30 euros cada uno.
• Si os pido que repartáis 60 euros entre 3 personas, la respuesta es 60:3=20 euros cada uno.
• Si os pido que repartáis 60 euros entre 4 personas, la respuesta es 60:4=15 euros cada uno.

Bien, la idea es que la división puede verse como un reparto. Entonces:

• Si os pido que repartáis 60 euros entre 0 personas, me diríais... "¿Tú estás tonto o qué? ¿Cómo vamos a repartir algo si no tenemos a nadie a quien repartirlo?". Esa es la idea que hay detrás del hecho de que: no se puede dividir por cero, es una operación matemática que no tiene ningún sentido.

Respondamos al reto. No era fácil para vosotros y la respuesta tampoco lo es, en realidad no tanto por su nivel matemático como por el razonamiento lógico que hay detrás. Voy a intentar explicároslo.

No os estaba preguntando que me dijeseis cuánto vale cero elevado a cero, sino que razonaseis por qué la demostración que habíamos visto para 13 es válida para cualquier otro número salvo para 0. La clave a eso está en el Paso 2. Vamos a verlo con detalle. Supongamos que queremos demostrar el siguiente teorema:

y tenemos a nuestra disposición dos resultados previos:

A ver hasta dónde llegamos:

Sí, no podemos seguir porque si os fijáis, 0²  es 0, y entonces estamos dividiendo por 0, y como me habéis dicho antes (hasta me habéis llamado tonto) eso es algo que en matemáticas no puede hacerse.

Y si me interesa que lo hayáis entendido, más me interesa lo que viene ahora: 

Lo que acabamos de ver es que la demostración que habíamos hecho con 13 no sirve si la intentamos hacer con 0. Pero eso no significa que 0⁰ no valga uno, significa que no sabemos lo que vale y que, valga 1 u otra cosa, lo que tenemos que hacer es probarlo con otra demostración.

¿Y existe esa demostración? En realidad no. La verdad es que en matemáticas se suele considerar que cero elevado a cero no tiene sentido... pero no todos opinan lo mismo ya que hay dos argumentos a favor de decir que:

0⁰ =1 

¿Cuáles son esos argumentos?

1) En Teoría de conjuntos (una parte muy abstracta y complicada de las matemáticas), hay algo "parecido" al cero, y se cumple (ahí sí) que cero elevado a cero es uno.

2) Podemos jugar con la calculadora y, en vez de elevar cero a cero (que nos da Math ERROR), probar con números cada vez más cercanos a cero, y ver qué pasa con el resultado:

Inciso. Para calcular una potencia con una calculadora (científica, que no sea muy vieja) se utiliza la tecla ^. Por ejemplo:

Para calcular 2² escribiríamos 2^2 y, naturalmente, el resultado sería 4.

Para calcular 2⁴ escribiríamos 2^4 que nos daría 16.

Para calcular 2⁰ teclearíamos 2^0 obteniendo 1.

Para 0⁰ al escribir 0^0 nos aparecería Math ERROR.

Fin Inciso.

Lo dicho, probando con números cada vez más cercanos a cero:

Es decir, cuanto más nos acercamos a 0, más se acerca el resultado a 1.

Nota. Para los muy observadores, lo que significan los exponentes 0'1, 0'01, 0'001... os lo explicarán en 3º. Simplemente son raíces (por ejemplo, un exponente 0'5 es otra forma de escribir la raíz cuadrada).

Irene, Julia, Diego y Leire, mañana martes haremos el sorteo (recreo, aula 2):