¡Feliz Navidad!

Naturalmente, voy a aprovechar para contaros una historia.

Los seres humanos se fijaron en tres fenómenos cíclicos (que se repiten) a la hora de intentar medir el tiempo: la salida y puesta del Sol (día), las fases de la luna, cuyo ciclo dura unos 29 días y medio (que parece una buena definición de mes), y la posición de la Tierra respecto al Sol (unos 365 días, cuyo ciclo es un inmejorable candidato para ser un año). Pero había un problema: los meses lunares y el año solar no cuadran bien. O nos quedamos cortos o nos pasamos:

• 29'5 x 12 meses = 354 días

• 29'5 x 13 meses = 383'5 días

Hubo muchos intentos de ajuste ya que era un asunto muy importante: ¿os imagináis que cada año los meses se fuesen moviendo y que, si en 2018 enero fuera invierno, dentro de unos años cayese en pleno verano? Si para nosotros sería un lío, ¿que sería para los agricultores?

¿Por qué la Semana Santa es un lío?

La solución fue olvidarse de la luna (por eso los meses no tienen todos el mismo número de días) e intentar ajustarse al Sol. Por entonces se sabía que a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'25 días. La solución parecía fácil: fue el emperador Julio César el que implantó el año de 365 días con uno de 366 cada cuatro. Es lo que se conoce como Calendario Juliano.

Pero lo de 365'25 era sólo una aproximación: en realidad a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'242189 días y claro, el error se fue acumulando, de forma que alguien se puso a hacer cálculos y se dieron cuenta de que cada 1000 años se producía un desfase de casi 8 días. Efectivamente:

• Cada año se acumulaba un desfase de 365'25 - 365'242189 = 0'007811 días.

• 0'007811 días x 1000 años = 7'811 días en total.

Para corregir ese error y para evitar que se produjera en el futuro, el papa Gregorio XIII instauró el Calendario Gregoriano que usamos en la actualidad: la regla es que son bisiestos los años cuyas dos últimas cifras son divisibles por 4, exceptuando los múltiplos de 100 (1700, 1800, 1900..., que no serán bisiestos), de los que se exceptúan a su vez aquellos que también sean divisibles por 400 (1600, 2000, 2400..., que sí serán bisiestos).

¿Problema resuelto? No, porque sigue habiendo un desajuste y, para corregirlo, cada 3000 años hay que hacer "normal", de 365 días, a un año al que le toque ser bisiesto.

**************

¿Sabéis por qué os he contado toda esta historia? Para poder haceros una pregunta: ¿quién nació en el día de Navidad de 1642 según el calendario Juliano que era el que utilizaban en Inglaterra en aquella época? Sí, un hombre que es Dios, el Dios de la Ciencia:

Isaac Newton

¡FELIZ NAVIDAD Y PRÓSPERO 2018!

Y os será más próspero cuantos más problemas, unos, y polinomios, otros, me resolváis.

La tecla Ran# de la calculadora

Muchas gracias por vuestro esfuerzo chicos:

Y ahora vamos a empaparnos con un poco de probabilidad (al final del curso nos tocará nadar en ella) pensando en cómo hacer el sorteo de las tres calculadoras.

Decimos que estamos ante una situación aleatoria cuando:

1) No sabemos exactamente lo que va a pasar.

2) Sí conocemos cuáles son las opciones.

3) Podemos medir cuántas son las posibilidades de cada una de las opciones (es lo que se conoce como probabilidad).

¿Un ejemplo? Vamos a imaginar que nos disponemos a sortear una única calculadora (explicarlo para tres es un poquito más difícil):

1) No sabemos exactamente quién se la va a llevar.

2) Sabemos que la ganará Nerea, Fernando, Julia, Leire, Yoel o Natalia.

3) Nerea tiene 102 puntos, Fernando 50, Julia 12, Leire y Yoel 10, y Natalia 1 (la suma total es 185). Entonces las probabilidades de ganar de cada uno son (redondeo con dos decimales):

Probabilidad(gane Nerea)= 102/185 = 0'55 (Nerea tiene aproximadamente un 55% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Fernando)= 50/185 = 0'27 (Fernando tiene aproximadamente un 27% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Julia)= 12/185 = 0'06 (Julia tiene aproximadamente un 6% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Leire)= Probabilidad(gane Yoel)= 10/185 = 0'05 (Leire y Yoel tienen aproximadamente un 5% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Natalia)= 1/185 = 0'005 (Natalia tiene aproximadamente un 0'5% de posibilidades de ganar).

(Fijaos que, redondeos aparte, las probabilidades de todos suman 1 o, lo que es lo mismo, que los porcentajes suman el 100%).

En realidad, como vamos a sortear tres calculadoras (y sólo se puede ganar una), la cosa es muchísimo más difícil de explicar... pero pensar en cómo hacer el sorteo no lo es tanto:

OPCIÓN 1. Meter 185 papelitos en una bolsa con un nombre escrito, 102 Nerea, 50 Fernando, 12 Julia, 10 Leire, 10 Yoel y 1 Natalia. Una mano inocente va sacando papelitos hasta que hay tres ganadores (si alguno sale más de una vez, no cuenta).

OPCIÓN 2. Hacer algo parecido aprovechando la tecla Ran# de la calculadora, que nos da, aleatoriamente, cada vez que la pulsamos, un número decimal de tres cifras entre el 0'000 y el 0'999 (ambos incluidos). Una posibilidad cómoda y sencilla de entender es asignar cinco números por cada punto acumulado:

- Nerea: 102 puntos x 5 = le corresponden 510 números, por ejemplo, del 0'001 al 0'510.

- Fernando: 50 puntos x 5 = le corresponden 250 números, del 0'511 al 0'760.

- Julia: 12 puntos x 5 = le corresponden 60 números, del 0'761 al 0'820.

- Leire: 10 puntos x 5 = le corresponden 50 números, del 0'821 al 0'870.

- Yoel: 10 puntos x 5 = le corresponden 50 números, del 0'871 al 0'920.

- Natalia: 1 punto x 5 = le corresponden 5 números, del 0'921 al 0'925.

Si sale cualquier otro número (0'000 o uno mayor que 0'925) la "tirada"no cuenta, lo mismo que si sale algún número correspondiente a una persona que ya haya ganado una de las calculadoras en las tiradas anteriores.

Una última cosa: ¿qué tiene la calculadora dentro, enanitos lanzando dados? ¿Cómo hace para conseguir un número aleatorio? Es un asunto delicado del que sólo os voy a decir una cosa: ¿sabéis qué parte de las matemáticas es la que se utiliza para conseguir números aleatorios? No, no es ni la estadística ni la probabilidad... ¡es el álgebra!

Aquí tenéis un artículo en el que hablan de esto

Soluciones a los retos

Mañana os explicaré cómo vamos a hacer el sorteo (el viernes en el recreo: la lotería no os tocará pero al menos tres de vosotros os llevaréis una calculadora), aunque lo primero es lo primero: las soluciones.

• Reto de la Conjetura de Golbach: descomponer los números pares entre 16 y 30 como suma de dos números primos.

16 = 3+13 = 5+11
18 = 5+13 = 7+11
20 = 3+17 = 7+13
22 = 3+19 = 5+17 = 11+11
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
26 = 3+23 = 7+19 = 13+13
28 = 5+23 = 11+17
30 = 7+23 = 11+19 = 13+17

• Reto del examen de divisibilidad: se trataba de dibujar grafos que recogiesen las relaciones (de divisibilidad) entre un número y sus divisores, en concreto, de 24 y 30.

¿A que son bonitos?

• Reto de Gauss: nos piden que sumemos:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 127 + 128 + 129 +130

y como ya le hemos pillado la idea al truquito, lo hacemos directamente: es la mitad de sumar 130 veces 131, es decir:

Vamos a atrevernos con una fórmula general:

• Reto de los unos I: el número formado por 9921479987437581 unos:

 111111111111...111111111111

¿es divisible por 3?

Vamos a aplicar encadenadamente el criterio de divisibilidad de 3:

111111111111...111111111111 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es precisamente 9921479987437581 (si sumo 2 unos da 2, si sumo 3 unos da 3, si sumo 4 unos da 4... si sumo 9921479987437581 unos da 9921479987437581).

9921479987437581 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es: 9+9+2+1+4+7+9+9+8+7+4+3+7+5+8+1=93 (y no voy a parar).

93 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es: 9+3=12 (¡he dicho que no voy a parar!).

12 es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

La suma de sus cifras es 1+2=3 (¡sí que paro!) que es divisible por 3.

Conclusión: todos los números que nos han ido apareciendo (y, en particular, el primero de todos), son divisibles por 3.

• Reto de los unos II: Suponiendo que, manteniendo pulsada la tecla del ordenador y con un tamaño de letra normalito, en un folio por las dos caras caben unos 10000 unos, y cuesta escribirlos unos 5 minutos, ¿cuánto tiempo nos costaría escribir todo ese montón de unos (9921479987437581 unos).

Si no me he colado:

- 9921479987437581 es aproximadamente 10¹⁶

- para escribir todos esos unos necesitamos 10¹⁶ : 10000 = 10¹² folios (¡sí, un billón!)

- en total nos costará escribirlos 5 x 10¹² minutos

- un año tiene 60 x 24 x 365 = 525600 minutos (redondeando: 500000 minutos)

- es decir, tardaremos en escribir los unos un total de 5 x 10¹² : 500000 = 10⁷ años

Sí, eso son unos 10 millones de años.

• Reto del equipo de fútbol. Os recuerdo cuál era el reto: empezando nosotros, eligiendo por turnos, siempre un jugador en uno de los dos extremos (derecho o izquierdo; el elegido se aparta), tenemos que intentar seleccionar a cuatro jugadores mejores (que marquen más goles) que los del equipo rival. Bien, pues os propongo que lo intentéis en dos situaciones (recordad que el número de la camiseta indica los goles que ha marcado cada jugador). Elegís los primeros, ¿cómo ganáis seguro?
  
  SITUACIÓN 1
  
  
  
  
  SITUACIÓN 2
  
  
  
  ¿Os ha dado esta pista la inspiración necesaria para encontrar la solución? ¿Ya veis qué tenéis que hacer para ganar siempre?
  
  Tanto si os dais por vencidos como si habéis triunfado y queréis ver este mismo reto contado con más gracia, haced clic en el siguiente enlace:
  
  
  Solución

• Reto extra: aquel año el entrenador (Miguel, alias Menotti), nos dejaba turnarnos para llevar el brazalete de capitán. Me tocó dos veces y simplemente tuve la suerte de que una de ellas fue el día que nos sacamos la foto. Un amigo me dijo , "vas a pasar a la posteridad como el capitán". ¡Efectivamente! Venga, va otro extra:

¿Se nota, Julia?

1º de ESO: examen de cuentecillas

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.

Me interesa especialmente el ejercicio 3 ya que vamos a seguir haciendo muchas operaciones combinadas a lo largo del curso (en vez de números decimales habrá fracciones y polinomios) y las habilidades que adquiráis ahora nos servirán entonces.

No os llevéis mal rato: era un examen fácil en su conjunto pero en el que también era fácil cometer errores.

Por cierto Pablo, no te ha salido mal... pero...

¡Vete rompiendo la hucha!

El reto final

Aquí viene el último reto para el Concurso de la calculadora. Bueno, el penúltimo, que al final de esta entrada hay un "extra".

Os pongo en antecedentes:

La Teoría de juegos es una rama de las matemáticas que bajo su nombre recreativo tiene gran importancia en el mundo real, en economía, biología, psicología, informática, etc. Por ejemplo, el famoso matemático John Nash (el de la película Una mente maravillosa) ganó el Premio Nobel de economía por sus investigaciones en Teoría de juegos.

Uno de los problemas básicos de la Teoría de juegos es determinar si para un juego hay o no una estrategia ganadora, es decir, una manera de que uno de los jugadores gane siempre. Un par de ejemplos famosos son (no fue fácil demostrarlo):

- en el juego del conecta cuatro, si el jugador que empieza hace las mejores jugadas, gana seguro.

- en el juego de las damas, si los dos jugadores hacen las mejores jugadas, empatan seguro.

Reto del equipo de fútbol. (20 puntos)

Imagina que estás con nueve amigos más y vais a jugar un partido de fútbol cinco contra cinco. Otro amigo y tú sois los capitanes y os disponéis a hacer los equipos eligiendo, cada uno de vosotros dos, a cuatro jugadores más para vuestros respectivos equipos. Supongamos que los ponemos en fila como en la imagen:

Las normas para elegir a los jugadores son las siguientes:

- vais a elegir por turno, seleccionando a un jugador cada vez,

- tú eliges primero,

- cada jugador se apartará de la fila al ser elegido,

- en cada turno, el que elige (tú o el otro capitán), sólo puede seleccionar a uno de los dos jugadores que estén en los extremos de la fila. Por ejemplo, la primera vez tú has de decidirte obligatoriamente entre dos jugadores, el 8 y el 1. Supongamos que eliges al 8 (que se apartará de la fila); entonces al otro capitán le tocará elegir entre el jugador 7 y el jugador 1. Y así sucesivamente hasta el final.

Además, y aquí viene lo importante, los dos capitanes conocéis perfectamente cómo juegan al fútbol vuestros ocho amigos: vamos a suponer que llevan escritos en la camiseta los goles que han marcado en los partidos de otros días y que eso mide lo buenos que son:

Naturalmente, tú quieres elegir un equipo que sea mejor (que marque más goles), que el equipo rival que va a elegir el otro capitán.

Vamos a hacer una simulación. Supongamos que las elecciones son:

- tú eliges al jugador 1,
- el otro capitán elige al jugador 2,
- tú eliges al jugador 8,
- el otro capitán elige al jugador 7,
- tú eliges al jugador 6,
- el otro capitán elige al jugador 5,
- tú eliges al jugador 4,
- el otro capitán elige al jugador 3.

Como resultado final los jugadores de tu equipo (12+9+13+14=48 goles en total) son peores que los del rival (18+11+12+9=50 goles).

El reto es: encontrar (la hay) la estrategia que te permite seleccionar seguro a un equipo mejor que el rival.


Aclaraciones:

- Podéis jugar e inspiraros con el ejemplo de la imagen de arriba, pero no estoy pidiendo que deis una solución para esos ocho en concreto, sino una "receta", una regla para elegir siempre, sean los que sean los ocho jugadores, a un equipo mejor que el rival. Es decir, la regla que deis debería servir también para:

y para cualesquiera otros ocho jugadores.

- La solución es una regla, una simple frase que en versión corta se puede escribir en menos de 150 caracteres.

- En realidad hay casos en el que no se puede elegir un equipo mejor que el rival. Por ejemplo, si los ocho jugadores marcasen todos el mismo número de goles,

en ese caso los dos equipos resultantes serían iguales (20 goles cada uno). Vamos a suponer entonces que en realidad el problema es conseguir un equipo mejor o, en algunos casos en que eso no puede ser, que por lo menos sea igual que el rival.

A ver qué tal se os da. Como casi siempre en matemáticas, la solución es muy fácil de entender cuando a uno se la cuentan... lo difícil es encontrarla.


Reto extra. (1 punto)

La siguiente foto fue hecha en el antiguo estadio de "Las Gaunas" hace muuuuuucho tiempo (sus protagonistas tenían casi todos 13 años).

El reto consiste en que tenéis que acertar quién es el más guapo, listo, simpático, gracioso, ocurrente, bueno, noble, valiente... de esa foto, y claro, por eso era nada más y nada menos que el capitán.

Más leña al fuego

Vamos con un reto doble en nuestro Concurso por la calculadora. Recordad que para todos ellos la fecha límite es el 18 de diciembre. A la derecha tenéis la clasificación de puntos acumulados para el sorteo. Os recuerdo los tres planteados hasta ahora:

- Reto de la Conjetura de Golbach. (multiplica por 2 la puntuación final).

- Reto del examen de divisibilidad (al final de la solución de este examen). (10 puntos) Entregádmelo en papel.

- Reto de Gauss. (10 puntos)

Los dos nuevos:

Reto de los unos I. (5 puntos)

- Pensemos en el número formado por 3 unos: 111
- Pensemos en el número formado por 5 unos: 11111
- Pensemos en el número formado por 9921479987437581 unos: 111...111

¿Es el último de ellos divisible por 3? (Naturalmente, hay que justificar la respuesta).

Reto de los unos II. (5 puntos)

Suponiendo que, manteniendo pulsada la tecla del ordenador y con un tamaño de letra normalito, en un folio por las dos caras caben unos 10000 unos, y cuesta escribirlos unos 5 minutos (no creo que "a mano" podamos ir más rápido que eso), ¿cuánto tiempo nos costaría escribir todo ese montón de unos (9921479987437581 unos)?

Nota: calculad un valor aproximado. Para ello id redondeando (¡no truncando!) los números que os vayan apareciendo. Por ejemplo:

9921479987437581 es aproximadamente 10¹⁶

¡Que se os dé bien!

2º de ESO: examen global de la 1ª evaluación

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Quienes me entreguéis el examen el lunes (que se note que está trabajado), tendréis medio punto extra en el examen de recuperación/mejora.

El lunes veremos cómo os ha salido y os daré las notas de la evaluación. Enhorabuena a los que os haya ido bien, y mucho ánimo a los que tenéis que seguir esforzándoos.

2º de ESO: introducción al Álgebra

Os cuelgo las diapositivas que vamos a utilizar en clase para dar comienzo a la 2ª evaluación.

Introducción al Álgebra

Leire, son inmortales: han resucitado los muy...

1º de ESO: examen global de la 1ª evaluación

Acabáis de hacerme el penúltimo esfuerzo de la 1ª evaluación... porque os quiero a todos este próximo fin de semana dándole un vistazo a vuestro examen y haciendo el del otro grupo:

Examen de 1º C	Solución
Examen de 1º D	Solución

Algunos habréis conseguido vuestros objetivos (¡enhorabuena!). Los que no, ya hablaremos de cómo podréis seguir peleando para lograrlos (¡ánimo!).

El Olimpo de los números

¿Cuál es el número más importante?

Hombre, dicho así es una pregunta un poco tonta: a ver quién convence el próximo 22 de diciembre a los afortunados, cuando los niños de San Ildefonso canten:

de que ése no es el número más importante.

Desde un punto de vista matemático, ¿cuáles son los números más importantes, los dioses del Olimpo? Aquí tenéis juntos a "los cinco magníficos" en la famosa identidad de Euler:

Adoremos a las divinidades:

0 El cero es el elemento neutro de la suma, es decir, si a cualquier número le sumo un 0, el número no cambia. Por ejemplo: 13169 = 13169 + 0.

1 El uno es el elemento neutro de la multiplicación, es decir, si un número lo multiplico por 1, el número no cambia. Por ejemplo: 13169 = 13169 x 1.

p Trabajaremos mucho con él en la tercera evaluación. Hay dos formas de verlo:

1) Si tenemos una circunferencia (pensemos que es una rueda) de 1 metro de diámetro y la hacemos rodar una vuelta entera, recorremos una distancia de p metros, es decir, 3'14159... metros, 3 veces y un poco el diámetro de la circunferencia.

2) Si tenemos un cuadrado cuyos lados miden 1 metro, su área es 1 metro cuadrado. Si tenemos una circunferencia de radio 1 metro, su área es p metros cuadrados.

e Coged una calculadora e id haciendo estas cuentas:

Si "no paráis nunca" llegaréis al valor exacto de:

e = 2,718281828459045235360287...

Estas cuentecillas aparecieron por primera vez en un problema de economía en el siglo XVII y desde entonces en muchos otros sitios. Aunque todavía no podéis pillar la idea, Eduardo siempre cuenta las cosas con gracia:

i Este vídeo sí podéis pillarlo en parte. Es más o menos lo que os quise contar el otro día:

Seguro que ahora estáis todos pensando: "voy a ir corriendo a un puesto de loterías a pedir el 13169, que mira si va a tener razón David, y me hago millonario y me puedo librar de él". Como matemático os digo: jugar a la lotería es tirar el dinero, y como profesor: si os queréis librar de mí, ¡estudiadme un poquito más de lo que lo hacéis!

Reto: (Sin premio, simplemente por orgullo y placer). Demuestra que el número 13169 no es primo, sacando factor común, sin hacer ninguna división ni aplicar ningún criterio de divisibilidad.

2º de ESO: examen de fracción, proporcionalidad y porcentajes

En el siguiente enlace os cuelgo el examen:

Examen

Es OBLIGATORIO que lo descarguéis y lo hagáis este próximo fin de semana. El lunes lo corregiremos en clase.

Números imaginarios

Como los de segundo ya sabéis y a los de primero os estoy contando estos días, no existen las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, si intentásemos calcular cuánto vale

nos pondríamos a buscar un número que elevado al cuadrado dé -1. Pero no existe tal número porque cuando elevamos cualquier cantidad al cuadrado, siempre obtenemos un resultado positivo, no es posible que nos salga un número negativo. Por ejemplo:

En definitiva (lo voy a escribir, que sé que os mola el símbolo):

Esto lo conocían los matemáticos desde la antigüedad, y así se tiraron unos cuantos siglos, hasta que hubo algunos que se plantearon, "¿por qué no nos inventamos más números?". Dicho y hecho, se inventaron un nuevo número al que llamaron i, que sería la raíz cuadrada de -1, es decir:

A este nuevo número le aparecieron de golpe muchos "familiares", todo un nuevo conjunto de números, que llamaron los números imaginarios. Aquí tenéis algunos:

Nota. En realidad:

Os cuento alguna cosilla:

- el nombre lo dice todo. Al principio los matemáticos trabajaron a regañadientes con estos nuevos números y los despreciaban porque decían que "en realidad no existían".

- fue Gauss (sí, el de 1+2+3+...+998+999+1000) el que dijo, "señores, estos son números como los demás y merecen todo nuestro respeto, ¡se acabó el racismo numérico!". Al ser Gauss una eminencia por aquel entonces, los demás le hicieron caso.

- como muchas veces ha pasado en nuestra ciencia favorita, al principio estos nuevos números fueron un gran avance en matemáticas (os lo contarán en el futuro: dieron lugar al Teorema Fundamental del Álgebra), pero no servían absolutamente para nada en el mundo real.

- esto no duró mucho: enseguida se descubrieron aplicaciones y se resolvieron importantes problemas de física e ingeniería gracias a los números imaginarios.

- los matemáticos no pararon aquí. Una vez que vieron que se podían inventar nuevos números, lo han venido haciendo cada vez que con los que tienen no les llega para resolver algún problema.

- en cuanto a vosotros, tenéis una cita con los números imaginarios en 1º de bachillerato de Ciencias. ¡No intentéis escapar!

A los números imaginarios también se les dice números complejos

2º de ESO: fracciones, proporcionalidad y porcentajes

Os enlazo las soluciones a dos hojas de ejercicios:

Problemas con fracciones

Proporcionalidad (simple) y porcentajes

Los problemas se pueden hacer de distintas maneras: a veces con más de una "técnica" (reducción a la unidad o regla de tres) y otras siguiendo un camino más o menos directo al resultado concreto que nos piden.

A vuestra habitual pregunta: ¿y cómo tenemos que hacerlo? ¿puedo hacerlo...?, mi habitual respuesta: intentad entenderlo todo y buscad salir de vuestra "zona de confort" (que es la mejor manera de ir ampliándola poco a poco).

Concursos de matemáticas

En primer lugar, y por ello el más importante, está el:

"Concurso de la 1ª evaluación"

Os voy a ir planteando una serie de retos y, según vayáis contestando, acumularéis puntos. Están ya en marcha (todos ellos y los que vendrán tienen como fecha límite para responder el 18 de diciembre):

- Reto de la Conjetura de Golbach. (multiplica por 2 la puntuación final).

- Reto del examen de divisibilidad (al final de la solución de este examen). (10 puntos) Entregádmelo en papel.

- Reto de Gauss. (10 puntos)

¿Cuál será el premio? Una flamante calculadora científica (por cierto, va siendo hora de que consigáis una, así que, o participáis en el concurso, o tenéis alguna reliquia de vuestros padres, o se la vais pidiendo a los Reyes Magos):

No tengo acciones, ni en Casio ni en Amazon

Os recuerdo las:

Instrucciones para enviar un comentario

Hablamos ahora del:

"Concurso de Primavera"

Una competición que algunos ya conocéis que organiza la Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas. Iremos hablando. Algunas cosas que os cuento ya:

- habrá un examen en el instituto (suele hacerse en febrero),

- la participación es voluntaria,

- competiréis juntos los de 1º y 2º de ESO (los niveles van de dos en dos cursos; los otros: 5º y 6º de Primaria, 3º y 4º de ESO y 1º y 2º de Bachillerato),

- los mejores pasaréis a la fase final de La Rioja que se celebrará por marzo/abril. De ahí los ganadores acudirán a la fase nacional (a finales del curso),

- os enlazo un ejemplo de examen por si queréis pegarle un vistazo:

Examen de la Fase 1 del curso pasado

Y, por último, vamos a ver cómo nos cuenta Eduardo la curiosa historia del:

"Premio Nobel de Matemáticas"

Carl Friedrich Gauss

Cuenta la leyenda que un profesor de matemáticas se enfadó con un alumno que estaba dando mucha guerra en clase (seguro que la historia es inventada, ¿dónde se ha visto un alumno así?), y como castigo y para tenerlo entretenido un buen rato, le mandó que sumase los 1000 primeros números naturales, es decir:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 998 + 999 + 1000

¡Y ni se te ocurra utilizar la calculadora! –casi le gritó el enfadado profesor-. (Esto también tiene que ser inventado. ¿Acaso conocéis a algún profesor que diga eso?).

Y ahí se quedó el “pobre” alumno, en un rincón de la clase, haciendo cuentas... y a los pocos segundos le dijo al profesor, “Ya lo tengo, 500500”.

Carl Friedrich Gauss, que así se llamaba el niño, apuntaba las maneras que le llevarían a ser uno de los más grandes matemáticos de la historia. Y ese día, en su cuaderno, el profesor se encontró con esto:

 ¡¡¿¿Os queda claro de una vez por todas que en matemáticas es mucho más importante el razonamiento que el resultado??!!

Reto: Emulando a Gauss, calculad la suma de los primeros 130 números naturales. Tenéis de plazo hasta el próximo domingo 19 de noviembre. Todos los que respondáis correctamente (explicándolo) acumularéis 10 puntos para el que vamos a llamar "Concurso de la 1ª evaluación", que tendrá como premio una calculadora científica.

Nota: Parece ser que la historia anterior es inventada pero, ¿qué os parece esta otra? (Fuente: blog El Aleph de El País). Copio y pego:

La segunda historia de hoy tiene como protagonista al matemático George Dantzig. Se cuenta que cierto día Dantzig llegó tarde a clase, y al sentarse vio que su profesor, Jerzy Neyman, había escrito en la pizarra dos problemas relacionados con estadística. Dantzig pensó que se trataba de trabajo para casa, y como buen estudiante los copió para ponerse con ellos más tarde. Según palabras del propio Dantzig, estos problemas le parecieron "algo más complicados de lo habitual", pero la cuestión es que consiguió dar con la solución de ambos. Después de resolverlos, entregó su trabajo al profesor y ahí quedo la cosa.

Lo que no sabía Dantzig era que había encontrado demostraciones para dos teoremas de estadística que carecían de demostración hasta la fecha. Un año después, cuando Dantzig estaba pensando tema para su tesis, Neyman le dijo que metiera las dos demostraciones en una carpeta y se las aceptaría como tesis.

1º de ESO: examen de divisibilidad

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.

2º de ESO: examen de números reales

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.

La conjetura de Golbach

Estos días andamos en 1º sacándole partido al Teorema Fundamental de la Aritmética, el que dice (en nuestra versión pachanguera) que "los números primos son los ladrillos con los que se construyen todos los números, y que la multiplicación es el cemento que los une".

Os voy a proponer un "retito", a ver si alguno sois capaz de hacerlo:

Reto: Demuestra que cualquier número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Vamos a ver de qué va el asunto, que los números primos funcionan bien con la multiplicación, pero esto de andar sumándolos es un poco raro:

4=2+2 (puede ser el mismo primo sumado dos veces)

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5 (éste se puede poner de dos formas)

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

...

Pero claro, esto no es una manera de demostrar nada. Los números pares son infinitos, así que no sirve "ir probando" porque no acabaríamos nunca. Necesitaríamos encontrar algún razonamiento general que valga para cualquier número par. ¿Se os ocurre algo?

Podéis intentarlo, pero no os desmoralicéis si no os sale porque os estoy tomando el pelo. El resultado de arriba es la Conjetura de Golbach (en matemáticas una conjetura es algo que se cree cierto pero que todavía no se ha conseguido demostrar). Se trata de un problema que los mejores matemáticos llevan intentando resolver, sin éxito, casi 300 años. El que lo haga se ganará la inmortalidad (y hasta es posible que salga en el telediario, eso sí, al final, después de la noticia de algún nuevo corte de pelo de Messi o chorradas por el estilo).

Por cierto, os presento al Messi de las matemáticas. ¡Esto sí que es impresionante, y no un tío atontadillo en calzoncillos dándole patadas a un balón!

La foto es antigua, ¡ya es cuarentón!

Antes de ponernos a competir con Terence para demostrar la Conjetura de Golbach, ¿os parece que calentemos con un reto más light?

Reto: Encuentra todas las descomposiciones como suma de dos números primos, de los números pares que van desde el 16 hasta el 30. Os hago yo el primero y el último:

16=3+13=5+11

...

30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)

(Tenéis de tiempo hasta el próximo domingo 12 de noviembre. Los que respondáis correctamente multiplicaréis por 2 vuestras posibilidades en el próximo reto con premio).

Entrenador de monos

Hay una frase que me dedicáis de tiempo en tiempo: "David, ¿puedo hacerlo de esta otra forma? Es que así lo entiendo mejor que de la forma que nos dices tú".

Habitualmente, esa "otra forma" que "entendéis mejor", consiste en aplicar una regla, mientras que "la forma que os digo yo", suele ser reproducir el razonamiento que hay detrás de la misma.

Os hago una pregunta: ¿hay algo que entender para aplicar una regla, para seguir las instrucciones de una receta?

En matemáticas, la regla, la receta, es el resultado final al que se llega después de un razonamiento, y es muy cómoda desde un punto de vista práctico (la aplicas y ya está, consigues el resultado que querías), pero completamente inútil cuando se trata (y es de lo que se trata) de desarrollar vuestro cerebro y vuestra capacidad de razonamiento.

Dejadme poneros un ejemplo tonto: calentar un vaso de leche es muy fácil (Paso 1: se mete en el microondas, Paso 2: se pone el temporizador en un minuto y se le da a ON, Paso 3: cuando suena el timbre se saca el vaso del microondas). Insisto, ¿hay algo que entender para seguir las instrucciones y calentar un vaso de leche?

Pues bien, como vuestro profesor no tengo ningún interés en que sepáis calentar vasos de leche, quiero que entendáis lo que hay detrás: ¿qué es el calor? ¿por qué el microondas calienta la leche?

Tengo una respuesta que me sale sola cada vez que me decís la frase del principio (algunos ya me la habéis oído): yo no soy un entrenador de monos. Por dos motivos:

1) Porque sería una falta de respeto trataros como a monos, ya que sois infinitamente más capaces e inteligentes.

2) Porque me sentiría un profesor fracasado si os tratase como a monos, ya que ¡no tengo ni idea de cómo podría conseguir que le ganaseis al del vídeo!

Y cero elevado a cero es...

El cero es un "rebelde" en la historia de las matemáticas (de hecho, costó varios siglos que fuese reconocido como un número "normal"). Es más, nosotros hemos dicho en clase que los números naturales son 0, 1, 2, 3, 4, 5..., pero también es habitual decir que los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5... y que el 0 va aparte; si os fijáis, es lo que hacen en el dibujo con los distintos conjuntos de números que, seguro, muchos ya tendréis decorando la pared de vuestra habitación.

Esa rebeldía se nota, por ejemplo, en algo que ya conocéis:

• Si os pido que repartáis 60 euros entre 2 personas, la respuesta es 60:2=30 euros cada uno.
• Si os pido que repartáis 60 euros entre 3 personas, la respuesta es 60:3=20 euros cada uno.
• Si os pido que repartáis 60 euros entre 4 personas, la respuesta es 60:4=15 euros cada uno.

Bien, la idea es que la división puede verse como un reparto. Entonces:

• Si os pido que repartáis 60 euros entre 0 personas, me diríais... "¿Tú estás tonto o qué? ¿Cómo vamos a repartir algo si no tenemos a nadie a quien repartirlo?". Esa es la idea que hay detrás del hecho de que: no se puede dividir por cero, es una operación matemática que no tiene ningún sentido.

Respondamos al reto. No era fácil para vosotros y la respuesta tampoco lo es, en realidad no tanto por su nivel matemático como por el razonamiento lógico que hay detrás. Voy a intentar explicároslo.

No os estaba preguntando que me dijeseis cuánto vale cero elevado a cero, sino que razonaseis por qué la demostración que habíamos visto para 13 es válida para cualquier otro número salvo para 0. La clave a eso está en el Paso 2. Vamos a verlo con detalle. Supongamos que queremos demostrar el siguiente teorema:

y tenemos a nuestra disposición dos resultados previos:

A ver hasta dónde llegamos:

Sí, no podemos seguir porque si os fijáis, 0²  es 0, y entonces estamos dividiendo por 0, y como me habéis dicho antes (hasta me habéis llamado tonto) eso es algo que en matemáticas no puede hacerse.

Y si me interesa que lo hayáis entendido, más me interesa lo que viene ahora: 

Lo que acabamos de ver es que la demostración que habíamos hecho con 13 no sirve si la intentamos hacer con 0. Pero eso no significa que 0⁰ no valga uno, significa que no sabemos lo que vale y que, valga 1 u otra cosa, lo que tenemos que hacer es probarlo con otra demostración.

¿Y existe esa demostración? En realidad no. La verdad es que en matemáticas se suele considerar que cero elevado a cero no tiene sentido... pero no todos opinan lo mismo ya que hay dos argumentos a favor de decir que:

0⁰ =1 

¿Cuáles son esos argumentos?

1) En Teoría de conjuntos (una parte muy abstracta y complicada de las matemáticas), hay algo "parecido" al cero, y se cumple (ahí sí) que cero elevado a cero es uno.

2) Podemos jugar con la calculadora y, en vez de elevar cero a cero (que nos da Math ERROR), probar con números cada vez más cercanos a cero, y ver qué pasa con el resultado:

Inciso. Para calcular una potencia con una calculadora (científica, que no sea muy vieja) se utiliza la tecla ^. Por ejemplo:

Para calcular 2² escribiríamos 2^2 y, naturalmente, el resultado sería 4.

Para calcular 2⁴ escribiríamos 2^4 que nos daría 16.

Para calcular 2⁰ teclearíamos 2^0 obteniendo 1.

Para 0⁰ al escribir 0^0 nos aparecería Math ERROR.

Fin Inciso.

Lo dicho, probando con números cada vez más cercanos a cero:

Es decir, cuanto más nos acercamos a 0, más se acerca el resultado a 1.

Nota. Para los muy observadores, lo que significan los exponentes 0'1, 0'01, 0'001... os lo explicarán en 3º. Simplemente son raíces (por ejemplo, un exponente 0'5 es otra forma de escribir la raíz cuadrada).

Irene, Julia, Diego y Leire, mañana martes haremos el sorteo (recreo, aula 2):

Los números irracionales (2ª parte, y última)

Vamos a viajar al siglo V a.C., a la antigua Grecia. En ella existía un grupo de matemáticos/filósofos (entonces venían a ser lo mismo) que eran conocidos como los pitagóricos (no hace falta explicar de quién eran seguidores). Su principal creencia era que todo el Universo podía ser explicado con números y que todos los números podían formarse dividiendo el 1 en partes iguales (ellos decían que todos los números eran conmensurables porque podían compararse con el 1). Esencialmente la idea es el juego de palitos que vimos el otro día. Por cierto, la mayoría de vosotros pensáis lo mismo:

(Inciso: Irene, Julia, Diego y Leire, participáis es el sorteo de un libro. Recordad que, hasta el domingo, podéis multiplicar por cinco vuestras opciones en el "reto del cero elevado a cero").

Traducido a nuestras matemáticas actuales, como los de segundo ya sabéis y los de primero pronto decubriréis, responder que sí en la encuesta, equivale a pensar que cualquier número se puede poner en forma de fracción. En algunos casos eso es cierto:

Pero, ¿es cierto para cualquier número? ¿cualquier número decimal puede ponerse en forma de fracción?


Los griegos pensaban que sí, hasta que uno de ellos, Hipaso de Metaponto, aplicó el Teorema de Pitágoras a un triángulo como el de la derecha y se preguntó, ¿cuál será la fracción que vale raíz cuadrada de 2?

Como Hipaso manejaba perfectamente el Teorema Fundamental de la Aritmética (¡sí, el de los números primos haciendo de ladrillos!), no le costó mucho deducir, para su sorpresa, que no había ninguna fracción cuyo valor fuese raíz de 2. No es difícil y os lo podría intentar explicar, pero os saldría demasiado humo por las orejas, así que lo dejo en las manos de vuestro futuro profesor de 3º o 4º de ESO (para los curiosos: es la primera de las dos demostraciones a las que lleva el siguiente enlace):

Raíz de 2 es irracional

Este descubrimiento provocó un verdadero sunami en la escuela pitagórica. Cuenta la leyenda que sus compañeros lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe, aunque en realidad parece ser que lo que hicieron fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.

En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales (¡el nombre lo dice todo!) y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso.

Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:

¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.

¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con ordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Aquí va un enlace a una página web en la que podéis ver el primer millón de cifras de raíz de 2 (para la calculadora: 1'414213562...)

Cifras decimales de raíz de 2

¿Sirve para algo calcular tantas cifras decimales? Para nada. En cualquier situación real  en la que se necesite hacer cálculos con raíz de 2 (construir una casa, lanzar un satélite, fabricar un coche...), con conocer unas pocas cifras decimales sobra.

¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" entre matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.

Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.

Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:

0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?

0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?

Otra, otra: ¿cuántos números racionales hay? ¿e irracionales? Hay infinitos de los dos tipos... pero... y quien quiera entender esto tendrá que ir a la Universidad a estudiar matemáticas... ¡¡hay más números irracionales que racionales!!

¡La última de verdad! Y aparte de los racionales y los irracionales, ¿hay más números?

Haylos (¿a que quedaría bonito como póster en vuestra habitación?):

1º de ESO: examen de potencias y raíces

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:

Examen

Solución

Es una buena idea que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.

Una demostración "profesional"

El trabajo de los matemáticos consiste en resolver problemas, más o menos como vosotros hacéis en clase, ¡igualito!

Una demostración matemática suele contener los siguientes elementos:

- Lemas: donde se recuerdan algunos resultados conocidos que se van a utilizar en la demostración.

- Teorema: que es el resultado importante que se va a demostrar, el problema que se va a resolver. Primero se escribe el enunciado y a continuación la demostración.

Vamos a ver un ejemplito: demostremos en "plan profesional" que 13 elevado a cero da uno.

Primero los lemas:

Vamos con el enunciado del problema que queremos resolver:

Y ahora, lo más interesante: la demostración, ¡que empiece la fiesta!

Porque no hay demostración que se precie que no termine con un C.q.d. (que son las iniciales de Como queríamos demostrar) y con #.

RETO. En realidad el 13 no pinta nada. Lo he cogido porque es mi número preferido, pero el resultado anterior vale para cualquier otro número, es decir, el teorema sería: cualquier número elevado a cero da uno. Bueno, eso no es del todo correcto: ¿por qué no sirve la demostración anterior si en vez de un 13 tenemos un 0?

Es complicado para vosotros porque tiene un alto nivel de abstracción. A ver si alguno sois capaz. No os estoy pidiendo que me digáis cuánto es 0 elevado a 0, sino por qué la demostración que hemos hemos hecho para 13 no sirve para 0 (hay un paso que puede hacerse con 13, pero si lo cambiamos por un 0, la "cosa" se atasca).

Los que respondáis antes del próximo domingo, multiplicáis por 5 vuestras posibilidades en el sorteo del libro del reto anterior (el de la encuesta). Cuando os dé la solución os digo cuánto es 0 elevado a 0.